Kaidah pendiferensialan atau aturan pendiferensialan bahasa Inggris Rules of differentiation berikut merupakan ringkasan kaidah kaidah untuk menghitung derivatif suatu fungsi dalam kalkulus Untuk daftar yang lebih lengkap lihat Tabel turunan Daftar isi 1 Kaidah dasar pendiferensialan 1 1 Pendiferensialan adalah linier 1 2 Kaidah hasil kali 1 3 Kaidah rantai 1 4 Kaidah fungsi inversi 2 Hukum pangkat polinomial hasil bagi dan timbal balik 2 1 Kaidah pangkat polinomial atau elementer 2 2 Kaidah timbal balik 2 3 Kaidah hasil bagi 2 4 Kaidah pemangkatan yang dirampat 3 Turunan fungsi eksponensial dan logaritmik 3 1 Turunan logaritmik 4 Turunan fungsi trigonometri 5 Turunan fungsi hiperbolik 6 Turunan fungsi fungsi khusus 7 Turunan integral 8 Turunan ke n 8 1 Rumus Faa di Bruno 8 2 Kaidah Leibniz umum 9 Lihat pula 10 Referensi 11 Sumber dan pustaka tambahan 12 Pranala luarKaidah dasar pendiferensialan SuntingKecuali dinyatakan lain semua fungsi merupakan fungsi bilangan real R yang menghasilkan nilai bilangan real meskipun secara lebih umum rumus rumus berikut dapat diterapkan di manapun jika didefinisikan dengan baik 1 2 termasuk bilangan kompleks C 3 Pendiferensialan adalah linier Sunting Untuk fungsi fungsi f dan g dan bilangan real a dan b apapun turunan fungsi h x af x bg x terhadap x dapat ditulis h x a f x b g x displaystyle h x af x bg x nbsp Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai d a f b g d x a d f d x b d g d x displaystyle frac d af bg dx a frac df dx b frac dg dx nbsp Kasus kasus khusus meliputi Kaidah faktor konstan a f a f displaystyle af af nbsp Kaidah penjumlahan f g f g displaystyle f g f g nbsp Kaidah pengurangan f g f g displaystyle f g f g nbsp Kaidah hasil kali Sunting Artikel utama Kaidah darab Untuk fungsi fungsi f dan g turunan fungsi h x f x g x terhadap x dapat ditulis h x f x g x f x g x displaystyle h x f x g x f x g x nbsp Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai d f g d x d f d x g f d g d x displaystyle frac d fg dx frac df dx g f frac dg dx nbsp Kaidah rantai Sunting Artikel utama Kaidah rantai Turunan dari fungsi h x f g x terhadap x dapat ditulis h x f g x g x displaystyle h x f g x g x nbsp Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai d h d x d f g x d g x d g x d x displaystyle frac dh dx frac df g x dg x frac dg x dx nbsp Namun dengan melonggarkan penafsiran h sebagai suatu fungsi dapat ditulis lebih sederhana sebagai d h d x d h d g d g d x displaystyle frac dh dx frac dh dg frac dg dx nbsp Kaidah fungsi inversi Sunting Jika fungsi f mempunyai suatu fungsi invers g yaitu g f x x dan f g y y maka g 1 f g displaystyle g frac 1 f circ g nbsp Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai d x d y 1 d y d x displaystyle frac dx dy frac 1 dy dx nbsp Hukum pangkat polinomial hasil bagi dan timbal balik SuntingKaidah pangkat polinomial atau elementer Sunting Jika f x x n displaystyle f x x n nbsp untuk bilangan bulat n apapun maka f x n x n 1 displaystyle f x nx n 1 nbsp Kasus kasus khusus meliputi Kaidah konstanta jika f adalah fungsi konstanta f x c untuk bilangan c apapun maka untuk semua x f x 0 jika f x x maka f x 1 Kasus khusus ini dapat digeneralisasi menjadi Turunan suatu fungsiaffineadalah suatu konstanta jika f x ax b maka f x a Penggabungan kaidah ini dengan kelinearan turunan dan kaidah penjumlahan memungkinan penghitungan turunan polinomial apapun Kaidah timbal balik Sunting Turunan dari h x 1 f x untuk fungsi f yang tidak menghilang nonvanishing manapun adalah h x f x f x 2 displaystyle h x frac f x f x 2 nbsp Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai d 1 f d x 1 f 2 d f d x displaystyle frac d 1 f dx frac 1 f 2 frac df dx nbsp Kaidah timbal balik reciprocal rule dapat diturunkan dari kaidah rantai chain rule dan kaidah pemangkatan kaidah pangkat power rule Kaidah hasil bagi Sunting Artikel utama Kaidah hasil bagi Jika f dan g adalah fungsi maka f g f g g f g 2 displaystyle left frac f g right frac f g g f g 2 quad nbsp di mana g bukan nol Ini dapat diturunkan dari kaidah timbal balik dan kaidah darab Sebaliknya menggunakan kaidah konstanta kaidah timbal balik dapat diturunkan dari kasus khusus f x 1 Kaidah pemangkatan yang dirampat Sunting Artikel utama Kaidah pemangkatan Kaidah pemangkatan elementer menggeneralisasi luas Kaidah pemangkat yang paling luas adalah kaidah pemangkatan fungsional functional power rule untuk fungsi fungsi f dan g apappun f g e g ln f f g f g f g ln f displaystyle f g left e g ln f right f g left f g over f g ln f right quad nbsp di mana kedua sisi didefinisikan dengan baik Kasus kasus khusus Jika f x xa f x axa 1 bilamana a adalah suatu bilangan real dan x adalah positif Kaidah timbal balik reciprocal rule dapat diturunkan sebagai kasus khsusu di mana g x 1 Turunan fungsi eksponensial dan logaritmik Suntingd d x c a x c a x ln c a c gt 0 displaystyle frac d dx left c ax right c ax ln c cdot a qquad c gt 0 nbsp perhatikan bahwa persamaan di atas adalah benar untuk semua c tetapi turunan bagi c lt 0 menghasilkan bilangan kompleks d d x e x e x displaystyle frac d dx left e x right e x nbsp d d x log c x 1 x ln c c gt 0 c 1 displaystyle frac d dx left log c x right 1 over x ln c qquad c gt 0 c neq 1 nbsp persamaan di atas adalah benar untuk semua c tetapi turunan bagi c lt 0 menghasilkan bilangan kompleks d d x ln x 1 x x gt 0 displaystyle frac d dx left ln x right 1 over x qquad x gt 0 nbsp d d x ln x 1 x displaystyle frac d dx left ln x right 1 over x nbsp d d x x x x x 1 ln x displaystyle frac d dx left x x right x x 1 ln x nbsp Turunan logaritmik Sunting Turunan logaritmik adalah cara lain untuk menyatakan kaidah diferensiasi logaritma suatu fungsi menggunakan kaidah rantai ln f f f displaystyle ln f frac f f quad nbsp wherever f is positive Turunan fungsi trigonometri Sunting sin x cos x displaystyle sin x cos x nbsp arcsin x 1 1 x 2 displaystyle arcsin x 1 over sqrt 1 x 2 nbsp cos x sin x displaystyle cos x sin x nbsp arccos x 1 1 x 2 displaystyle arccos x 1 over sqrt 1 x 2 nbsp tan x sec 2 x 1 cos 2 x 1 tan 2 x displaystyle tan x sec 2 x 1 over cos 2 x 1 tan 2 x nbsp arctan x 1 1 x 2 displaystyle arctan x 1 over 1 x 2 nbsp sec x sec x tan x displaystyle sec x sec x tan x nbsp arcsec x 1 x x 2 1 displaystyle operatorname arcsec x 1 over x sqrt x 2 1 nbsp csc x csc x cot x displaystyle csc x csc x cot x nbsp arccsc x 1 x x 2 1 displaystyle operatorname arccsc x 1 over x sqrt x 2 1 nbsp cot x csc 2 x 1 sin 2 x 1 cot 2 x displaystyle cot x csc 2 x 1 over sin 2 x 1 cot 2 x nbsp arccot x 1 1 x 2 displaystyle operatorname arccot x 1 over 1 x 2 nbsp Adalah lazim untuk mendefinisikan lebih lanjut suatu fungsi tangen inversi dengan dua argumen arctan y x displaystyle arctan y x nbsp Nilainya terletak dalam rentang p p displaystyle pi pi nbsp dan mencerminkan kuadran dari titik x y displaystyle x y nbsp Untuk kuadran pertama dan keempat yaitu x gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp maka arctan y x gt 0 arctan y x displaystyle arctan y x gt 0 arctan y x nbsp Turunan parsialnya adalah arctan y x y x x 2 y 2 displaystyle frac partial arctan y x partial y frac x x 2 y 2 nbsp and arctan y x x y x 2 y 2 displaystyle frac partial arctan y x partial x frac y x 2 y 2 nbsp Turunan fungsi hiperbolik Sunting sinh x cosh x e x e x 2 displaystyle sinh x cosh x frac e x e x 2 nbsp arsinh x 1 x 2 1 displaystyle operatorname arsinh x 1 over sqrt x 2 1 nbsp cosh x sinh x e x e x 2 displaystyle cosh x sinh x frac e x e x 2 nbsp arcosh x 1 x 2 1 displaystyle operatorname arcosh x frac 1 sqrt x 2 1 nbsp tanh x sech 2 x displaystyle tanh x operatorname sech 2 x nbsp artanh x 1 1 x 2 displaystyle operatorname artanh x 1 over 1 x 2 nbsp sech x tanh x sech x displaystyle operatorname sech x tanh x operatorname sech x nbsp arsech x 1 x 1 x 2 displaystyle operatorname arsech x 1 over x sqrt 1 x 2 nbsp csch x coth x csch x displaystyle operatorname csch x operatorname coth x operatorname csch x nbsp arcsch x 1 x 1 x 2 displaystyle operatorname arcsch x 1 over x sqrt 1 x 2 nbsp coth x csch 2 x displaystyle operatorname coth x operatorname csch 2 x nbsp arcoth x 1 1 x 2 displaystyle operatorname arcoth x 1 over 1 x 2 nbsp Turunan fungsi fungsi khusus SuntingFungsi gammaG x 0 t x 1 e t ln t d t displaystyle Gamma x int 0 infty t x 1 e t ln t dt nbsp G x n 1 ln 1 1 n 1 x n 1 x G x ps x displaystyle Gamma x left sum n 1 infty left ln left 1 dfrac 1 n right dfrac 1 x n right dfrac 1 x right Gamma x psi x nbsp Fungsi Riemann Zetaz x n 1 ln n n x ln 2 2 x ln 3 3 x ln 4 4 x displaystyle zeta x sum n 1 infty frac ln n n x frac ln 2 2 x frac ln 3 3 x frac ln 4 4 x cdots nbsp p prime p x ln p 1 p x 2 q prime q p 1 1 q x displaystyle sum p text prime frac p x ln p 1 p x 2 prod q text prime q neq p frac 1 1 q x nbsp Turunan integral SuntingMisalkan dibutuhkan untuk menghitung turunan terhadap x dalam fungsi F x a x b x f x t d t displaystyle F x int a x b x f x t dt nbsp di mana fungsi fungsi f x t displaystyle f x t nbsp dan x f x t displaystyle frac partial partial x f x t nbsp keduanya kontinu dalam t displaystyle t nbsp dan x displaystyle x nbsp dalam wilayah tertentu bidang t x displaystyle t x nbsp termasuk a x t b x displaystyle a x leq t leq b x nbsp x 0 x x 1 displaystyle x 0 leq x leq x 1 nbsp dan fungsi fungsi a x displaystyle a x nbsp dan b x displaystyle b x nbsp keduanya kontinu dan memiliki turunan kontinu untuk x 0 x x 1 displaystyle x 0 leq x leq x 1 nbsp Maka untuk x 0 x x 1 displaystyle x 0 leq x leq x 1 nbsp F x f x b x b x f x a x a x a x b x x f x t d t displaystyle F x f x b x b x f x a x a x int a x b x frac partial partial x f x t dt nbsp Rumus ini merupakan bentuk umum dari kaidah integral Leibniz dan dapat diturunkan menggunakan Teorema fundamental kalkulus Turunan ke n SuntingAda sejumlah kaidah untuk menghitung turunan ke n suatu fungsi di mana n adalah sebuah bilangan bulat positif Di antaranya Rumus Faa di Bruno Sunting Jika f dan g dapat diturunkan n kali maka d n d x n f g x n k m f r g x m 1 n 1 k m g m x k m displaystyle frac d n dx n f g x n sum k m f r g x prod m 1 n frac 1 k m left g m x right k m nbsp di mana r m 1 n 1 k m displaystyle r sum m 1 n 1 k m nbsp dan himpunan k m displaystyle k m nbsp terdiri dari semua solusi bilangan bulat bukan negatif dari persamaan Diophantine m 1 n m k m n displaystyle sum m 1 n mk m n nbsp Kaidah Leibniz umum Sunting Jika f dan g dapat diturunkan n kali maka d n d x n f x g x k 0 n n k d n k d x n k f x d k d x k g x displaystyle frac d n dx n f x g x sum k 0 n binom n k frac d n k dx n k f x frac d k dx k g x nbsp Lihat pula SuntingTurunan fungsi Fungsi Hiperbolik Fungsi invers Fungsi trigonometri Kalkulus matriksReferensi Sunting Calculus 5th edition F Ayres E Mendelson Schuam s Outline Series 2009 ISBN 978 0 07 150861 2 Advanced Calculus 3rd edition R Wrede M R Spiegel Schuam s Outline Series 2010 ISBN 978 0 07 162366 7 Complex Variables M R Speigel S Lipschutz J J Schiller D Spellman Schaum s Outlines Series McGraw Hill USA 2009 ISBN 978 0 07 161569 3Sumber dan pustaka tambahan SuntingKaidah kaidah ini ditulis dalam banyak buku baik kalkulus elementer maupun lanjutan dalam matematika murni maupun terapan Notasi dalam halaman ini selain pada rujukan rujukan di atas dapat dijumpai dalam Mathematical Handbook of Formulas and Tables 3rd edition S Lipschutz M R Spiegel J Liu Schuam s Outline Series 2009 ISBN 978 0 07 154855 7 The Cambridge Handbook of Physics Formulas G Woan Cambridge University Press 2010 ISBN 978 0 521 57507 2 Mathematical methods for physics and engineering K F Riley M P Hobson S J Bence Cambridge University Press 2010 ISBN 978 0 521 86153 3 NIST Handbook of Mathematical Functions F W J Olver D W Lozier R F Boisvert C W Clark Cambridge University Press 2010 ISBN 978 0 521 19225 5 Pranala luar SuntingDerivative calculator with formula simplification A Table of Derivatives Diarsipkan 2012 10 31 di Wayback Machine Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Kaidah pendiferensialan amp oldid 22244783
