Artikel ini memiliki beberapa masalah. Tolong bantu memperbaikinya atau diskusikan masalah-masalah ini di halaman pembicaraannya. (Pelajari bagaimana dan kapan saat yang tepat untuk menghapus templat pesan ini)
|
Simetri involusi Cs, (*) [ ] = | Simetri siklik Cnv, (*nn) [n] = | Simetri dihedral Dnh, (*n22) [n,2] = |
Grup polihedral, [n,3], (*n32) | ||
---|---|---|
Simetri tetrahedral Td, (*332) [3,3] = | Simetri oktahedral Oh, (*432) [4,3] = | Simetri ikosahedral Ih, (*532) [5,3] = |
Sebuah ikosahedron reguler memiliki 60 simetri rotasi (atau pelestari orientasi), dan urutan simetri sebanyak 120 termasuk transformasi yang menggabungkan refleksi dan rotasi. Sebuah dodecahedron beraturan memiliki himpunan simetri yang sama, karena merupakan ganda dari ikosahedron.
Grup simetri penuh (termasuk refleksi) dikenal juga sebagai grup Coxeter H3, dan diwakili oleh notasi Coxeter [5,3] dan diagram Coxeter . Himpunan simetri orientasi-kekal dalam bentuk subgrup isomorfik pada grup A5 (grup selang-seling pada 5 huruf).
Sebagai titik grup Sunting
Terlepas dari dua deret tak hingga dari simetri prismatik dan antiprismatik, simetri ikosahedral rotasi atau simetri ikosahedral kiral dari objek kiral dan simetri ikosahedral penuh atau simetri ikosahedral akiral adalah simetri titik diskret (atau ekuivalen, simetri pada bola) dengan grup simetri terbesar.
Simetri ikosahedral tidak kompatibel dengan simetri translasi, jadi tidak ada grup titik kristalografi atau grup ruang terkait.
Schö. | Coxeter | Orb. | Struktur abstrak | Orde | |
---|---|---|---|---|---|
I | [5,3]+ | 532 | A5 | 60 | |
Ih | [5,3] | *532 | A5×2 | 120 |
Presentasi yang sesuai dengan di atas adalah:
Ini sesuai dengan grup ikosahedral (rotasi dan penuh) sebagai (2,3,5) grup segitiga.
Presentasi pertama diberikan oleh William Rowan Hamilton pada tahun 1856, dalam makalahnya tentang kalkulus ikosian.
Perhatikan bahwa presentasi lain dimungkinkan, misalnya sebagai grup selang-seling (untuk I).
Visualisasi Sunting
Schoe. (Orb.) | Notasi Coxeter | Elemen | Diagram cermin | |||
---|---|---|---|---|---|---|
Ortogonal | Proyeksi stereografis | |||||
Ih (*532) | [5,3] | Garis cermin: 15 | ||||
I (532) | [5,3]+ | Titik girasi: 125 203 302 |
Struktur grup Sunting
Tepi sebuah bola gabungan lima oktahedra mewakili 15 bidang cermin sebagai lingkaran besar berwarna. Setiap oktahedron/segi delapan mewakili 3 bidang cermin ortogonal pada tepinya. | |
Simetri piritohedron adalah subgrup indeks 5 simetri ikosahedral, dengan 3 garis refleksi hijau ortogonal dan 8 titik girasi urutan-3 merah. Ada 5 orientasi yang berbeda dari simetri piritohedron. |
Grup rotasi ikosahedral I adalah urutan 60. Grup I adalah isomorfik hingga A5, grup selang-seling dari permutasi genap lima objek. Isomorfisme ini diwujudkan dengan "I" pada berbagai senyawa, terutama majemuk lima kubus (yang tertulis di dodecahedron), gabungan lima oktahedra, atau salah satu dari dua senyawa lima tetrahedra (yaitu enantiomorf, dan tertulis di dodecahedron).
Grup berisi 5 versi Th dengan 20 versi D3 (10 sumbu, 2 per sumbu), dan 6 versi D5.
Grup ikosahedral penuh Ih memiliki urutan 120. Memiliki I sebagai subgrup normal dari indeks 2. Grup Ih isomorfik dengan I × Z2, atau A5 × Z2, dengan inversi di tengah sesuai dengan elemen (identitas,-1), dimana Z2 ditulis secara perkalian.
Ih pada gabungan lima kubus dan gabungan lima oktahedra, namun 1 bertindak sebagai identitas (karena kubus dan oktahedra simetris terpusat). Ia bekerja pada gabungan sepuluh tetrahedra: I pada dua bagian kiral (gabungan dari lima tetrahedra), dan 1 menukar dua bagian. Khususnya, "tidak" bertindak sebagai S5, dan grup ini tidak isomorfik; lihat di bawah untuk detailnya.
Grup ini berisi 10 versi D3d dan 6 versi D5d (simetri seperti antiprisma).
I adalah isomorfik pada PSL2(5), namun Ih tidak isomorfik terhadap SL2(5).
Isomorfisme I dengan A5 Sunting
Hal ini berguna untuk menggambarkan secara eksplisit seperti apa isomorfisme antara I dan A5. Pada tabel berikut, permutasi Pi dan Qi masing-masing bekerja pada 5 dan 12 elemen, sedangkan matriks rotasi Mi adalah elemen dari I. Jika Pk adalah hasil kali dari permutasi Pi dan menerapkan Pj padanya, maka untuk nilai yang sama dari i, j dan k, juga benar bahwa Qk adalah hasil kali dari pengambilan Qi dan menerapkan Qj, dan juga mengalikan sebuah vektor dengan Mk sama dengan mengalikan vektor tersebut dengan Mi dan kemudian mengalikan hasilnya dengan Mj, yaitu Mk = Mj × Mi. Karena permutasi Pi adalah semua 60 permutasi genap dari 12345, korespondensi satu-ke-satu dibuat eksplisit, oleh karena itu isomorfismenya juga.
Matriks rotasi | Permutasi 5 pada 1 2 3 4 5 | Permutasi 12 pada 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 |
---|---|---|
= () | = () | |
= (3 4 5) | = (1 11 8)(2 9 6)(3 5 12)(4 7 10) | |
= (3 5 4) | = (1 8 11)(2 6 9)(3 12 5)(4 10 7) | |
= (2 3)(4 5) | = (1 12)(2 8)(3 6)(4 9)(5 10)(7 11) | |
= (2 3 4) | = (1 2 3)(4 5 6)(7 9 8)(10 11 12) | |
= (2 3 5) | = (1 7 5)(2 4 11)(3 10 9)(6 8 12) | |
= (2 4 3) | = (1 3 2)(4 6 5)(7 8 9)(10 12 11) | |
= (2 4 5) | = (1 10 6)(2 7 12)(3 4 8)(5 11 9) | |
= (2 4)(3 5) | = (1 9)(2 5)(3 11)(4 12)(6 7)(8 10) | |
= (2 5 3) | = (1 5 7)(2 11 4)(3 9 10)(6 12 8) | |
= (2 5 4) | = (1 6 10)(2 12 7)(3 8 4)(5 9 11) | |
= (2 5)(3 4) | = (1 4)(2 10)(3 7)(5 8)(6 11)(9 12) | |
= (1 2)(4 5) | = (1 3)(2 4)(5 8)(6 7)(9 10)(11 12) | |
= (1 2)(3 4) | = (1 5)(2 7)(3 11)(4 9)(6 10)(8 12) | |
= (1 2)(3 5) | = (1 12)(2 10)(3 8)(4 6)(5 11)(7 9) | |
= (1 2 3) | = (1 11 6)(2 5 9)(3 7 12)(4 10 8) | |
= (1 2 3 4 5) | = (1 6 5 3 9)(4 12 7 8 11) | |
= (1 2 3 5 4) | = (1 4 8 6 2)(5 7 10 12 9) | |
= (1 2 4 5 3) | = (1 8 7 3 10)(2 12 5 6 11) | |
= (1 2 4) | = (1 7 4)(2 11 8)(3 5 10)(6 9 12) | |
= (1 2 4 3 5) | = (1 2 9 11 7)(3 6 12 10 4) | |
= (1 2 5 4 3) | = (2 3 4 7 5)(6 8 10 11 9) | |
= (1 2 5) | = (1 9 8)(2 6 3)(4 5 12)(7 11 10) | |
= (1 2 5 3 4) | = (1 10 5 4 11)(2 8 9 3 12) | |
= (1 3 2) | = (1 6 11)(2 9 5)(3 12 7)(4 8 10) | |
= (1 3 4 5 2) | = (2 5 7 4 3)(6 9 11 10 8) | |
= (1 3 5 4 2) | = (1 10 3 7 8)(2 11 6 5 12) | |
= (1 3)(4 5) | = (1 7)(2 10)(3 11)(4 5)(6 12)(8 9) | |
= (1 3 4) | = (1 9 10)(2 12 4)(3 6 8)(5 11 7) | |
= (1 3 5) | = (1 3 4)(2 8 7)(5 6 10)(9 12 11) | |
= (1 3)(2 4) | = (1 12)(2 6)(3 9)(4 11)(5 8)(7 10) | |
= (1 3 2 4 5) | = (1 4 10 11 5)(2 3 8 12 9) | |
= (1 3 5 2 4) | = (1 5 9 6 3)(4 7 11 12 8) | |
= (1 3)(2 5) | = (1 2)(3 5)(4 9)(6 7)(8 11)(10 12) | |
= (1 3 2 5 4) | = (1 11 2 7 9)(3 10 6 4 12) | |
= (1 3 4 2 5) | = (1 8 2 4 6)(5 10 9 7 12) | |
= (1 4 5 3 2) | = (1 2 6 8 4)(5 9 12 10 7) | |
= (1 4 2) | = (1 4 7)(2 8 11)(3 10 5)(6 12 9) | |
= (1 4 3 5 2) | = (1 11 4 5 10)(2 12 3 9 8) | |
= (1 4 3) | = (1 10 9)(2 4 12)(3 8 6)(5 7 11) | |
= (1 4 5) | = (1 5 2)(3 7 9)(4 11 6)(8 10 12) | |
= (1 4)(3 5) | = (1 6)(2 3)(4 9)(5 8)(7 12)(10 11) | |
= (1 4 5 2 3) | = (1 9 7 2 11)(3 12 4 6 10) | |
= (1 4)(2 3) | = (1 8)(2 10)(3 4)(5 12)(6 7)(9 11) | |
= (1 4 2 3 5) | = (2 7 3 5 4)(6 11 8 9 10) | |
= (1 4 2 5 3) | = (1 3 6 9 5)(4 8 12 11 7) | |
= (1 4 3 2 5) | = (1 7 10 8 3)(2 5 11 12 6) | |
= (1 4)(2 5) | = (1 12)(2 9)(3 11)(4 10)(5 6)(7 8) | |
= (1 5 4 3 2) | = (1 9 3 5 6)(4 11 8 7 12) | |
= (1 5 2) | = (1 8 9)(2 3 6)(4 12 5)(7 10 11) | |
= (1 5 3 4 2) | = (1 7 11 9 2)(3 4 10 12 6) | |
= (1 5 3) | = (1 4 3)(2 7 8)(5 10 6)(9 11 12) | |
= (1 5 4) | = (1 2 5)(3 9 7)(4 6 11)(8 12 10) | |
= (1 5)(3 4) | = (1 12)(2 11)(3 10)(4 8)(5 9)(6 7) | |
= (1 5 4 2 3) | = (1 5 11 10 4)(2 9 12 8 3) | |
= (1 5)(2 3) | = (1 10)(2 12)(3 11)(4 7)(5 8)(6 9) | |
= (1 5 2 3 4) | = (1 3 8 10 7)(2 6 12 11 5) | |
= (1 5 2 4 3) | = (1 6 4 2 8)(5 12 7 9 10) | |
= (1 5 3 2 4) | = (2 4 5 3 7)(6 10 9 8 11) | |
= (1 5)(2 4) | = (1 11)(2 10)(3 12)(4 9)(5 7)(6 8) |
Grup biasa limbung Sunting
Semua grup berikut memiliki urutan 120, tetapi tidak isomorfik:
- S5, grup simetris pada 5 elemen
- Ih, grup ikosahedral penuh (subjek artikel ini, juga dikenal sebagai H3)
- 2I, grup ikosahedral biner
Ia sesuai dengan urutan tepat pendek berikut (yang terakhir tidak terpecah) dan produk
In words,
- adalah subgrup normal dari
- adalah faktor dari , yang merupakan produk langsung
- adalah grup hasil bagi dari
Perhatikan bahwa memiliki biasa 3 dimensi representasi yang tidak direduksi (sebagai grup rotasi ikosahedral), namun tidak memiliki representasi 3 dimensi yang tidak dapat direduksi, sesuai dengan grup ikosahedral penuh tidak sebagai grup simetris.
Ini juga dikaitkan dengan grup linear atas Medan hingga dengan lima elemen, yang menunjukkan subgrup dan grup penutup secara langsung; tidak satupun dari ini adalah grup ikosahedral penuh:
- Grup linear proyeksi khusus, lihat di sini untuk bukti;
- grup linear umum proyeksi;
- grup linear khusus.
Kelas konjugasi Sunting
120 simetri terbagi dalam 10 kelas konjugasi.
I | Kelas penjumlahan Ih |
---|---|
|
|
Subgrup dari grup simetri ikosahedral penuh Sunting
Setiap baris dalam tabel berikut mewakili satu kelas subgrup konjugat (yaitu, ekuivalen secara geometris). Kolom "Banyak." (multiplisitas) memberikan jumlah subgrup yang berbeda di kelas konjugasi. Penjelasan warna: hijau = grup yang dihasilkan oleh refleksi, merah = grup kiral (pelestarian orientasi), yang hanya berisi rotasi.
Grup tersebut digambarkan secara geometris dalam bentuk dodecahedron. Singkatan "s.p.m.t.(tepi)" berarti "setengah putaran menukar tepi ini dengan tepi berlawanan", dan juga untuk "wajah" dan "simpul".
Schön. | Coxeter | Orb. | H-M | Struktur | Siklus. | Urutan|Indeks | Mult. | Deskripsi | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Ih | [5,3] | *532 | 532/m | A5×Z2 | 120 | 1 | 1 | grup penuh | ||
D2h | [2,2] | *222 | mmm | Dih2×Dih1=Dih13 | 8 | 15 | 5 | memperbaiki dua sisi berlawanan, dengan menukarnya | ||
C5v | [5] | *55 | 5m | Dih5 | 25px]] | 10 | 12 | 6 | memperbaiki wajah | |
C3v | [3] | *33 | 3m | Dih3=S3 | 6 | 20 | 10 | memperbaiki simpul | ||
C2v | [2] | *22 | 2mm | Dih2=Dih12 | 4 | 30 | 15 | memperbaiki tepi | ||
Cs | [ ] | * | 2 atau m | Dih1 | 2 | 60 | 15 | refleksi menukar dua titik akhir dari sebuah tepi | ||
Th | [3+,4] | 3*2 | m3 | A4×Z2 | 24 | 5 | 5 | grup piritohedral | ||
D5d | [2+,10] | 2*5 | 10m2 | Dih10=Z2×Dih5 | 20 | 6 | 6 | memperbaiki dua wajah berlawanan, dengan menukarnya | ||
D3d | [2+,6] | 2*3 | 3m | Dih6=Z2×Dih3 | 12 | 10 | 10 | memperbaiki dua simpul berlawanan, dengan menukarnya | ||
D1d = C2h | [2+,2] | 2* | 2/m | Dih2=Z2×Dih1 | 4 | 30 | 15 | setengah putaran di sekitar titik tengah tepi, ditambah inversi pusat | ||
S10 | [2+,10+] | 5× | 5 | Z10=Z2×Z5 | 10 | 12 | 6 | rotasi wajah, ditambah inversi pusat | ||
S6 | [2+,6+] | 3× | 3 | Z6=Z2×Z3 | 6 | 20 | 10 | rotasi tentang simpul, ditambah inversi pusat | ||
S2 | [2+,2+] | × | 1 | Z2 | 2 | 60 | 1 | inversi pusat | ||
I | [5,3]+ | 532 | 532 | A5 | 60 | 2 | 1 | semua rotasi | ||
T | [3,3]+ | 332 | 332 | A4 | 12 | 10 | 5 | rotasi dari tetrahedron terhubung | ||
D5 | [2,5]+ | 522 | 522 | Dih5 | 10 | 12 | 6 | rotasi di sekitar pusat wajah, dan s.p.m.t.(wajah) | ||
D3 | [2,3]+ |