Unit imajiner

Unit imajiner atau bilangan imajiner unit () adalah solusi untuk persamaan kuadrat ² . Meskipun tidak ada bilangan riil dengan sifat ini, dapat digunakan untuk memperluas bilangan riil menjadi bilangan kompleks, bilangan yang menggunakan operasi penambahan dan perkalian; contoh sederhananya adalah .

terletak di bidang kompleks. Bilangan riil terletak pada sumbu horizontal, dan bilangan imajiner terletak pada sumbu vertikal.

Bilangan imajiner adalah konsep matematika yang penting, sebab bilangan ini memperluas sistem bilangan riil ke sistem bilangan kompleks , dan pada sistem bilangan tersebut setidaknya terdapat satu buah akar fungsi untuk setiap polinomial yang tak konstan. Istilah "imajiner" digunakan karena tidak ada bilangan riil yang memiliki kuadrat negatif.

Terdapat dua buah akar kuadrat kompleks dari −1, yaitu dan , sama seperti terdapat dua buah akar kuadrat kompleks dari setiap bilangan riil selain nol, yang memiliki satu buah akar kuadrat berganda.

Bilangan kompleks yang juga terkadang digunakan untuk menggantikan , sebab dapat bermakna ambigu. Sebagai contoh, dalam ilmu teknik listrik dan teknik kendali, unit imajiner biasanya dilambangkan dengan alih-alih , karena biasanya digunakan untuk menyatakan arus listrik.

Definisi

Nilai siklus perpangkatan dari i :
(daerah yang berwarna biru menandakan pola berulang)
(daerah yang berwarna biru menandakan pola berulang)

Bilangan imajiner didefinisikan hanya dengan menggunakan sifat bahwa akar kuadratnya adalah :

Oleh karena itu, dan sama-sama merupakan akar kuadrat dari .

Operasi bilangan real dapat diperluas ke bilangan imajiner dan bilangan kompleks, dengan memperlakukan sebagai kuantitas yang tidak diketahui saat memanipulasi ekspresi (dan menggunakan definisi untuk menggantikan dengan −1). Perpangkatan dari yang lebih tinggi dapat digantikan dengan , , , atau :

Hal ini dapat diperlakukan cara yang serupa untuk sebarang bilangan real tak nol:

Sebagai bilangan kompleks, dapat dinyatakan dalam sistem koordinat Cartesius berdimensi dua sebagai , yang terdiri dari nol buah komponen real dan satu buah komponen imajiner. Dalam bentuk polar, dapat dinyatakan sebagai (atau cukup tulis ), dengan nilai mutlak dari 1 dan argumen dari radian (dan juga ditambahkan dengan sebarang kelipatan dari ). Dalam bilangan kompleks, atau disebut bidang Argand, yang merupakan pandangan bidang Cartesius yang khusus, adalah titik yang terletak dengan jarak 1 satuan dari titik asal di sepanjang sumbu imajiner.

Sifat

Akar kuadrat dan akar kubik

Dua buah akar kuadrat dari dalam bidang kompleks

Tiga buah akar kubik dari dalam bidang kompleks

Sama seperti semua bilangan kompleks tak nol, mempunyai dua buah akar kuadrat, yaitu

Dengan menguadratkan kedua ekspresi tersebut, akan menghasilkan:

Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, akan didapatkan

Tiga buah akar kubik dari adalah:

Sama seperti semua akar dari 1, semua akar dari adalah titik sudut poligon beraturan yang terletak di dalam lingkaran satuan di bidang kompleks.

Catatan

1. Cara mencari akar kuadrat dari adalah dengan menyelesaikan persamaan dengan x dan y adalah parameter real yang akan dicari; persamaan tersebut sama saja dengan menulis Karena bagian riil dan imajiner selalu terpisah, maka suku-suku di persamaan dapat disusun menjadi Dengan menyamakan koefisien dan memisahkan bagian riil dan imajiner, maka didapatkan sistem dari dua persamaan:
   Dengan mensubstitusi ke persamaan pertama, maka didapatkan
   Karena bilangan riil, maka persamaan ini mempunyai dua buah solusi riil untuk . yaitu dan . Dengan mensubstitusikan hasil tersebut ke persamaan , maka didapatkan hasil yang sama untuk . Dengan demikian, akar kuadrat dari adalah dan .

Rujukan

1. Boas, Mary L. (2006). Mathematical Methods in the Physical Sciences (edisi ke-3). New York [u.a.]: Wiley. hlm. 49. ISBN 0-471-19826-9. 
2. "What is the square root of ?". University of Toronto Mathematics Network. Diakses tanggal 26 Maret 2007. 
3. Zill, Dennis G.; Shanahan, Patrick D. (2003). A first course in complex analysis with applications. Boston: Jones and Bartlett. hlm. 24–25. ISBN 0-7637-1437-2. OCLC 50495529.