www.wikidata.id-id.nina.az

Optimisasi Artikel ini bukan mengenai Optimal matematika terkadang hanya ditulis sebagai optimisasi adalah proses memili

Optimisasi

Artikel ini bukan mengenai Optimal.

Optimisasi matematika (terkadang hanya ditulis sebagai optimisasi) adalah proses memilih sebuah elemen terbaik, menurut suatu atau beberapa kriteria, dari suatu himpunan berisi alternatif elemen yang tersedia. Masalah optimisasi muncul dalam banyak bidang ilmu dari ilmu komputer dan ilmu teknik sampai riset operasi dan ekonomi, juga selama bertahun-tahun menarik perhatian matematika dalam mengembangkan metode menemukan solusi.

Grafik yang dibentuk dari persamaan z = f(x, y) = −(x² + y²) + 4. Titik maksimum global fungsi terletak pada (x, y, z) = (0, 0, 4), dtandai oleh titik berwarna biru.
Visualisasi pencarian minimum Nelder-Mead untuk fungsi Siminescu. Verteks simplex diurutkan berdasarkan nilai mereka, dengan 1 menjadi nilai terkecil.

Dalam kasus paling sederhana, sebuah masalah optimisasi berisi tentang cara memaksimumkan atau meminimumkan nilai sebuah fungsi real, dengan secara sistematis memilih nilai input dari suatu himpunan yang diperbolehkan. Perumuman dari teori-teori optimisasi dan teknik-teknik ke berbagai bentuk formulasi masalah menjadi bahan kajian sebagian besar bidang matematika terapan.

Masalah optimisasi Sunting

Sebuah masalah optimisasi dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut:

Formulasi tersebut juga disebut dengan masalah pemrograman matematika. Terminologi ini yang tidak berhubungan langsung dengan pemrograman komputer, namun masih digunakan di beberapa hal seperti pemrograman linear. Banyak masalah nyata (real-world problem) maupun masalah teoritis dapat dimodelkan dalam kerangka umum tersebut.

Perhatikan bahwa hubungan terpenuhi jika kita mendefinisikan . Hal ini yang mengartikan setiap masalah maksimisasi dapat diubah menjadi masalah minimisasi (dan sebaliknya). Dalam matematika, masalah optimisasi umumnya dinyatakan sebagai masalah minimisasi. Di bidang fisika, formulasi seperti ini dapat merujuk pada teknik minimisasi energi, dengan nilai fungsi merepresentasikan energi dari sistem yang dimodelkan. Dalam pemelajaran mesin, penting untuk mengevaluasi kualitas parameter data menggunakan fungsi biaya, dengan nilai fungsi yang minimum mengimplikasikan kemungkinan parameter dengan nilai optimal (terkecil).

Umumnya adalah subset dari ruang Euklides , umum ditandai oleh sebuah himpunan konstrain, yakni kumpulan persamaan atau pertidaksamaan yang perlu dipenuhi oleh anggota . Domain dari fungsi disebut dengan ruang pencarian atau ruang pilihan, sedangkan elemen dari disebut dengan kandidat solusi atau solusi feasibel (solusi yang mungkin).

Terdapat banyak nama bagi fungsi , yang secara umum disebut dengan fungsi objektif. Untuk masalah minimisasi, fungsi ini terkadang disebut dengan fungsi kerugian atau fungsi biaya); sedangkan masalah maksimisasi terkadang menggunakan terminologi fungsi kecocokan (fitness function) atau fungsi utilitas. Pada beberapa bidang, fungsi ini juga disebut dengan fungsi energi. Solusi feasibel yang meminimumkan (atau memaksimumkan jika itu tujuan akhirnya) nilai fungsi objektif dikenal sebagai solusi optimal.

Sebuah [titik] minimum lokal didefinisikan sebagai elemen yang memiliki suatu dan untuk

akan berlaku hubungan . Secara informal definisi ini mengatakan bahwa menghasilkan nilai fungsi yang terkecil, ketika dibandingkan tetangga-tetangga disekitarnya. [Titik] maksimum lokal didefinisikan dengan cara yang serupa. Jika titik minimum lokal memberikan solusi yang setidaknya sama baiknya dengan solusi disekitar titik tersebut, titik minimum global akan memberikan solusi yang setidaknya sama baiknya dengan semua solusi yang mungkin. Secara umum, kecuali fungsi objektif bersifat konveks, ada kemungkinan titik [minimum/maksimum] lokal, dan tidak semuanya juga merupakan titik [minimum/maksimum] global.

Banyak algoritma dikembangkan untuk menyelesaikan masalah non-konveks, namun sebagian besar tidak dapat membedakan solusi optimal lokal dengan solusi optimal global; mereka akan menganggap solusi optimal lokal sebagai solusi sebenarnya bagi masalah optimisasi. Optimisasi global adalah cabang matematika terapan dan analisis numerik yang mengkaji perkembangan algoritma deterministik dan memastikan konvergensi dalam waktu yang terbatas (finite time), untuk menemukan solusi optimal masalah non-konveks

Notasi Sunting

Masalah optimisasi sering diekspresikan menggunakan notasi khusus. Berikut beberapa notasi yang digunakan berserta penjelasan singkatnya:

Nilai minimum dan maksimum sebuah fungsi Sunting

Perhatikan notasi berikut:

Notasi ini menandakan nilai minimum dari fungsi objektif , ketika dipilih dari himpunan bilangan real . Nilai minimum dalam kasus ini adalah 1, dan terjadi ketika .

Serupa dengan itu, notasi

menandakan nilai maksimum dari fungsi objektif , dengan dapat berupa sebarang bilangan real. Fungsi objektif ini tidak memiliki nilai maksimum, karena fungsi tidak terbatas (dari atas). Dalam kasus ini nilai maksimum adalah "tak hingga" atau "tidak terdefinisi", tergantung konteks pembicaraan.

Argumen input yang optimal Sunting

Artikel utama: Arg max

Notasi seperti

atau secara ekuivalen juga dapat ditulis sebagai
menandakan nilai (atau nilai-nilai jika ada lebih dari satu) argumen pada selang yang meminimumkan fungsi objektif . Perlu diperhatikan notasi ini tidak merujuk pada nilai minimum dari fungsi, namun nilai argumen yang membuat nilai fungsi minimum. Dalam kasus ini, jawabannya adalah . Nilai bukan solusi karena dia bukan anggota himpunan feasibel .

Serupa dengan itu, notasi seperti

atau juga dapat ditulis sebagai

merepresentasikan semua himpunan berurut yang memaksimumkan nilai fungsi objektif , dengan batasan nilai perlu terletak di selang . Dalam kasus ini, solusi dari notasi tersebut adalah semua himpunan berurut yang memiliki bentuk dan , dengan merupakan bilangan bulat.

Operators dan terkadang juga ditulis sebagai dan ; secara berurutan memiliki arti "argumen dari minimum" dan "argumen dari maksimum".

Sejarah Sunting

Fermat dan Lagrange menemukan formula untuk mengidentifikasi nilai optimal, yang berdasar pada kalkulus. Sementara itu, Newton dan Gauss mengusulkan metode iteratif yang mengubah nilai feasibel ke arah nilai optimal. George B. Dantzig mencetuskan istilah "pemrograman linear" untuk menyelesaikan beberapa kasus optimisasi,walau sebagian teori sudah diperkenalkan oleh Leonid Kantorovich pada tahun 1939. Kata "pemrograman" dalam konteks ini tidak merujuk pada "pemrogramam komputer", namun merujuk pada penggunaan program oleh pihak militer Amerika Serikat untuk menyebut proposal pelatihan dan jadwal; masalah-masalah yang dipelajari oleh Dantzig pada waktu itu. Pada tahun 1947, Dantzig mempublikasikan algoritma simplex, sedangkan John von Neumann mengembangkan teori dualitas.[butuh rujukan] Beberapa peneliti lain yang terkenal dalam bidang optimisasi adalah:

  • Richard Bellman
  • Roger Fletcher
  • Ronald A. Howard
  • Fritz John
  • Narendra Karmarkar
  • William Karush
  • Leonid Khachiyan
  • Bernard Koopman
  • Harold Kuhn
  • László Lovász
  • Arkadi Nemirovski
  • Yurii Nesterov
  • Lev Pontryagin
  • R. Tyrrell Rockafellar
  • Naum Z. Shor
  • Albert Tucker

Referensi Sunting

  1. "The Nature of Mathematical Programming 2014-03-05 di Wayback Machine.," Mathematical Programming Glossary, INFORMS Computing Society.
  2. Martins, Joaquim R. R. A.; Ning, Andrew (2021-10-01). Engineering Design Optimization (dalam bahasa Inggris). Cambridge University Press. ISBN 978-1108833417. 
  3. Du, D. Z.; Pardalos, P. M.; Wu, W. (2008). "History of Optimization". Dalam Floudas, C.; Pardalos, P. Encyclopedia of Optimization. Boston: Springer. hlm. 1538–1542. 
  4. W. Erwin Diewert (2008). "cost functions," The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition Contents.

Bacaan lebih lanjut Sunting

  • Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83378-7. 
  • Gill, P. E.; Murray, W.; Wright, M. H. (1982). Practical Optimization. London: Academic Press. ISBN 0-12-283952-8. 
  • Lee, Jon (2004). A First Course in Combinatorial Optimization. Cambridge University Press. ISBN 0-521-01012-8. 
  • Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006). Numerical Optimization (edisi ke-2nd). Berlin: Springer. ISBN 0-387-30303-0. 
  • Snyman, J. A.; Wilke, D. N. (2018). Practical Mathematical Optimization : Basic Optimization Theory and Gradient-Based Algorithms (edisi ke-2nd). Berlin: Springer. ISBN 978-3-319-77585-2. 

Pranala luar Sunting

Wikimedia Commons memiliki media mengenai Mathematical optimization.
wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Artikel ini bukan mengenai Optimal Optimisasi matematika terkadang hanya ditulis sebagai optimisasi adalah proses memilih sebuah elemen terbaik menurut suatu atau beberapa kriteria dari suatu himpunan berisi alternatif elemen yang tersedia 1 Masalah optimisasi muncul dalam banyak bidang ilmu dari ilmu komputer dan ilmu teknik 2 sampai riset operasi dan ekonomi juga selama bertahun tahun menarik perhatian matematika dalam mengembangkan metode menemukan solusi 3 Grafik yang dibentuk dari persamaan z f x y x y 4 Titik maksimum global fungsi terletak pada x y z 0 0 4 dtandai oleh titik berwarna biru Visualisasi pencarian minimum Nelder Mead untuk fungsi Siminescu Verteks simplex diurutkan berdasarkan nilai mereka dengan 1 menjadi nilai terkecil Dalam kasus paling sederhana sebuah masalah optimisasi berisi tentang cara memaksimumkan atau meminimumkan nilai sebuah fungsi real dengan secara sistematis memilih nilai input dari suatu himpunan yang diperbolehkan Perumuman dari teori teori optimisasi dan teknik teknik ke berbagai bentuk formulasi masalah menjadi bahan kajian sebagian besar bidang matematika terapan Daftar isi 1 Masalah optimisasi 2 Notasi 2 1 Nilai minimum dan maksimum sebuah fungsi 2 2 Argumen input yang optimal 3 Sejarah 4 Referensi 5 Bacaan lebih lanjut 6 Pranala luarMasalah optimisasi SuntingSebuah masalah optimisasi dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut Diberikan sebuah fungsi f A R displaystyle f A to mathbb R nbsp yang memetakan suatu himpunan A displaystyle A nbsp ke bilangan real Dicari sebuah elemen x 0 A displaystyle mathbf x 0 in A nbsp yang memenuhi f x 0 f x displaystyle f mathbf x 0 leq f mathbf x nbsp untuk setiap x A displaystyle mathbf x in A nbsp masalah minimisasi atau yang memenuhi f x 0 f x displaystyle f mathbf x 0 geq f mathbf x nbsp untuk setiap x A displaystyle mathbf x in A nbsp masalah maksimisasi Formulasi tersebut juga disebut dengan masalah pemrograman matematika Terminologi ini yang tidak berhubungan langsung dengan pemrograman komputer namun masih digunakan di beberapa hal seperti pemrograman linear Banyak masalah nyata real world problem maupun masalah teoritis dapat dimodelkan dalam kerangka umum tersebut Perhatikan bahwa hubungan f x 0 f x f x 0 f x displaystyle f left mathbf x 0 right geq f left mathbf x right Leftrightarrow tilde f left mathbf x 0 right leq tilde f left mathbf x right nbsp terpenuhi jika kita mendefinisikan f x f x f A R displaystyle tilde f left mathbf x right f left mathbf x right tilde f A rightarrow mathbb R nbsp Hal ini yang mengartikan setiap masalah maksimisasi dapat diubah menjadi masalah minimisasi dan sebaliknya Dalam matematika masalah optimisasi umumnya dinyatakan sebagai masalah minimisasi Di bidang fisika formulasi seperti ini dapat merujuk pada teknik minimisasi energi dengan nilai fungsi f displaystyle f nbsp merepresentasikan energi dari sistem yang dimodelkan Dalam pemelajaran mesin penting untuk mengevaluasi kualitas parameter data menggunakan fungsi biaya dengan nilai fungsi yang minimum mengimplikasikan kemungkinan parameter dengan nilai optimal terkecil Umumnya A displaystyle A nbsp adalah subset dari ruang Euklides R n displaystyle mathbb R n nbsp umum ditandai oleh sebuah himpunan konstrain yakni kumpulan persamaan atau pertidaksamaan yang perlu dipenuhi oleh anggota A displaystyle A nbsp Domain A displaystyle A nbsp dari fungsi f displaystyle f nbsp disebut dengan ruang pencarian atau ruang pilihan sedangkan elemen dari A displaystyle A nbsp disebut dengan kandidat solusi atau solusi feasibel solusi yang mungkin Terdapat banyak nama bagi fungsi f displaystyle f nbsp yang secara umum disebut dengan fungsi objektif Untuk masalah minimisasi fungsi ini terkadang disebut dengan fungsi kerugian atau fungsi biaya 4 sedangkan masalah maksimisasi terkadang menggunakan terminologi fungsi kecocokan fitness function atau fungsi utilitas Pada beberapa bidang fungsi ini juga disebut dengan fungsi energi Solusi feasibel yang meminimumkan atau memaksimumkan jika itu tujuan akhirnya nilai fungsi objektif dikenal sebagai solusi optimal Sebuah titik minimum lokal x displaystyle mathbf x nbsp didefinisikan sebagai elemen yang memiliki suatu d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp dan untuk x A dengan x x d displaystyle forall mathbf x in A text dengan left Vert mathbf x mathbf x ast right Vert leq delta nbsp akan berlaku hubungan f x f x displaystyle f mathbf x leq f mathbf x nbsp Secara informal definisi ini mengatakan bahwa x displaystyle mathbf x nbsp menghasilkan nilai fungsi yang terkecil ketika dibandingkan tetangga tetangga disekitarnya Titik maksimum lokal didefinisikan dengan cara yang serupa Jika titik minimum lokal memberikan solusi yang setidaknya sama baiknya dengan solusi disekitar titik tersebut titik minimum global akan memberikan solusi yang setidaknya sama baiknya dengan semua solusi yang mungkin Secara umum kecuali fungsi objektif bersifat konveks ada kemungkinan titik minimum maksimum lokal dan tidak semuanya juga merupakan titik minimum maksimum global Banyak algoritma dikembangkan untuk menyelesaikan masalah non konveks namun sebagian besar tidak dapat membedakan solusi optimal lokal dengan solusi optimal global mereka akan menganggap solusi optimal lokal sebagai solusi sebenarnya bagi masalah optimisasi Optimisasi global adalah cabang matematika terapan dan analisis numerik yang mengkaji perkembangan algoritma deterministik dan memastikan konvergensi dalam waktu yang terbatas finite time untuk menemukan solusi optimal masalah non konveksNotasi SuntingMasalah optimisasi sering diekspresikan menggunakan notasi khusus Berikut beberapa notasi yang digunakan berserta penjelasan singkatnya Nilai minimum dan maksimum sebuah fungsi Sunting Perhatikan notasi berikut min x R x 2 1 displaystyle min x in mathbb R left x 2 1 right nbsp Notasi ini menandakan nilai minimum dari fungsi objektif x 2 1 displaystyle x 2 1 nbsp ketika x displaystyle x nbsp dipilih dari himpunan bilangan real R displaystyle mathbb R nbsp Nilai minimum dalam kasus ini adalah 1 dan terjadi ketika x 0 displaystyle x 0 nbsp Serupa dengan itu notasimax x R 2 x displaystyle max x in mathbb R 2x nbsp menandakan nilai maksimum dari fungsi objektif 2 x displaystyle 2x nbsp dengan x displaystyle x nbsp dapat berupa sebarang bilangan real Fungsi objektif ini tidak memiliki nilai maksimum karena fungsi tidak terbatas dari atas Dalam kasus ini nilai maksimum adalah tak hingga atau tidak terdefinisi tergantung konteks pembicaraan Argumen input yang optimal Sunting Artikel utama Arg max Notasi sepertia r g m i n x 1 x 2 1 displaystyle underset x in infty 1 operatorname arg min x 2 1 nbsp atau secara ekuivalen juga dapat ditulis sebagaia r g m i n x x 2 1 dengan kendala x 1 displaystyle underset x operatorname arg min x 2 1 text dengan kendala x in infty 1 nbsp menandakan nilai atau nilai nilai jika ada lebih dari satu argumen x displaystyle x nbsp pada selang 1 displaystyle infty 1 nbsp yang meminimumkan fungsi objektif x 2 1 displaystyle x 2 1 nbsp Perlu diperhatikan notasi ini tidak merujuk pada nilai minimum dari fungsi namun nilai argumen yang membuat nilai fungsi minimum Dalam kasus ini jawabannya adalah x 1 displaystyle x 1 nbsp Nilai x 0 displaystyle x 0 nbsp bukan solusi karena dia bukan anggota himpunan feasibel x 2 1 displaystyle x 2 1 nbsp Serupa dengan itu notasi seperti a r g m a x x 5 5 y R x cos y displaystyle underset x in 5 5 y in mathbb R operatorname arg max x cos y nbsp atau juga dapat ditulis sebagai a r g m a x x y x cos y dengan kendala x 5 5 y R displaystyle underset x y operatorname arg max x cos y text dengan kendala x in 5 5 y in mathbb R nbsp merepresentasikan semua himpunan berurut x y displaystyle x y nbsp yang memaksimumkan nilai fungsi objektif x cos y displaystyle x cos y nbsp dengan batasan nilai x displaystyle x nbsp perlu terletak di selang 5 5 displaystyle 5 5 nbsp Dalam kasus ini solusi dari notasi tersebut adalah semua himpunan berurut yang memiliki bentuk 5 2 k p displaystyle 5 2k pi nbsp dan 5 2 k 1 p displaystyle 5 2k 1 pi nbsp dengan k displaystyle k nbsp merupakan bilangan bulat Operators arg min displaystyle arg min nbsp dan arg max displaystyle arg max nbsp terkadang juga ditulis sebagai argmin displaystyle text argmin nbsp dan argmax displaystyle text argmax nbsp secara berurutan memiliki arti argumen dari minimum dan argumen dari maksimum Sejarah SuntingFermat dan Lagrange menemukan formula untuk mengidentifikasi nilai optimal yang berdasar pada kalkulus Sementara itu Newton dan Gauss mengusulkan metode iteratif yang mengubah nilai feasibel ke arah nilai optimal George B Dantzig mencetuskan istilah pemrograman linear untuk menyelesaikan beberapa kasus optimisasi walau sebagian teori sudah diperkenalkan oleh Leonid Kantorovich pada tahun 1939 Kata pemrograman dalam konteks ini tidak merujuk pada pemrogramam komputer namun merujuk pada penggunaan program oleh pihak militer Amerika Serikat untuk menyebut proposal pelatihan dan jadwal masalah masalah yang dipelajari oleh Dantzig pada waktu itu Pada tahun 1947 Dantzig mempublikasikan algoritma simplex sedangkan John von Neumann mengembangkan teori dualitas butuh rujukan Beberapa peneliti lain yang terkenal dalam bidang optimisasi adalah Richard Bellman Roger Fletcher Ronald A Howard Fritz John Narendra Karmarkar William Karush Leonid Khachiyan Bernard Koopman Harold Kuhn Laszlo Lovasz Arkadi Nemirovski Yurii Nesterov Lev Pontryagin R Tyrrell Rockafellar Naum Z Shor Albert TuckerReferensi Sunting The Nature of Mathematical Programming Diarsipkan 2014 03 05 di Wayback Machine Mathematical Programming Glossary INFORMS Computing Society Martins Joaquim R R A Ning Andrew 2021 10 01 Engineering Design Optimization dalam bahasa Inggris Cambridge University Press ISBN 978 1108833417 Du D Z Pardalos P M Wu W 2008 History of Optimization Dalam Floudas C Pardalos P Encyclopedia of Optimization Boston Springer hlm 1538 1542 W Erwin Diewert 2008 cost functions The New Palgrave Dictionary of Economics 2nd Edition Contents Bacaan lebih lanjut SuntingBoyd Stephen P Vandenberghe Lieven 2004 Convex Optimization Cambridge Cambridge University Press ISBN 0 521 83378 7 Gill P E Murray W Wright M H 1982 Practical Optimization London Academic Press ISBN 0 12 283952 8 Lee Jon 2004 A First Course in Combinatorial Optimization Cambridge University Press ISBN 0 521 01012 8 Nocedal Jorge Wright Stephen J 2006 Numerical Optimization edisi ke 2nd Berlin Springer ISBN 0 387 30303 0 Snyman J A Wilke D N 2018 Practical Mathematical Optimization Basic Optimization Theory and Gradient Based Algorithms edisi ke 2nd Berlin Springer ISBN 978 3 319 77585 2 Pranala luar Sunting nbsp Wikimedia Commons memiliki media mengenai Mathematical optimization Decision Tree for Optimization Software Links to optimization source codes Global optimization EE364a Convex Optimization I Course from Stanford University Varoquaux Gael Mathematical Optimization Finding Minima of Functions Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Optimisasi amp oldid 24397007