www.wikidata.id-id.nina.az

Transformasi Laplace atau alih ragam Laplace 1 adalah suatu teknik untuk menyederhanakan permasalahan dalam suatu sistem

Transformasi Laplace

Transformasi Laplace atau alih ragam Laplace adalah suatu teknik untuk menyederhanakan permasalahan dalam suatu sistem yang mengandung masukan dan keluaran, dengan melakukan transformasi dari suatu domain pengamatan ke domain pengamatan yang lain.

Dalam matematika jenis transformasi atau alih ragam ini merupakan suatu konsep yang penting sebagai bagian dari analisis fungsional, yang dapat membantu dalam melakukan analisis sistem invarian-waktu linier, seperti rangkaian elektronik, osilator harmonik, perangkat optik dan sistem-sistem mekanik. Dengan mengetahui deksripsi matematika atau fungsional sederhana dari masukan atau keluaran suatu sistem, transformasi Laplace dapat memberikan deskripsi funsional alternatif yang kadang dapat menyederhanakan proses analisis kelakukan dari sistem atau membuat suatu sistem baru yang berdasarkan suatu kumpulan spesifikasi.

Dalam sistem fisik sebenarnya transformasi Laplace sering dianggap sebagai suatu transformasi dari cara pandang domain-waktu, di mana masukan dan keluaran dimengerti sebagai fungsi dari waktu, ke cara pandang domain-frekuensi, di mana masukan dan keluaran yang sama dipandang sebagai fungsi dari frekuensi angular kompleks, atau radian per satuan waktu. Transformasi ini tidak hanya menyediakan cara mendasar lain untuk mengerti kelakukan suatu sistem, tetapi juga secara drastis mengurangi kerumitan perhitungan matematika yang dibutuhkan dalam menganalisis suatu sistem.

Transformasi Laplace memiliki peran penting dalam aplikasi-aplikasi dalam bidang fisika, optik, rekayasa listrik, rekayasa kendali, pengolahan isyarat dan teori kemungkinan.

Nama transformasi ini diberikan untuk menghormati seorang ahli matematika dan astronomi, Pierre-Simon Laplace, yang menggunakan teknik transformasi ini pada hasil karyanya dalam teori kemungkinan. Sebenarnya teknik ini ditemukan sebelumnya oleh Leonhard Euler, seorang ahli matematika prolific Swiss abad kedelapanbelas.

Definisi formal Sunting

Transformasi Laplace dari suatu fungsi f(t), yang terdefinisi untuk semua nilai t riil dengan t ≥ 0, adalah fungsi F(s), yang didefinisikan sebagai:

Limit bawah adalah kependekan dari dan memastikan inklusi dari keseluruhan fungsi delta Dirac pada 0 jika terdapat suatu impuls dalam f(t) pada 0.

Secara umum parameter s bernilai kompleks:

Jenis transformasi integral ini memiliki sejumlah sifat yang membuatnya amat berguna bagi analisis sistem dinamik linier. Keunggulan utama dari cara ini adalah mengubah proses diferensiasi menjadi perkalian dan integrasi menjadi pembagian, dengan adanya s (Hal ini mirip dengan fungsi logaritma yang mengubah operasi perkalian dan pembagian menjadi penjumlahan dan pengurangan). Perubahan persamaan integral dan diferensial menjadi bentuk polinomial menyederhanakan proses penyelesaian.

Tabel berikut ini adalah daftar transformasi Laplace:

Karakteristik transformasi Laplace
Domain waktu Domain s Keterangan
Linearitas Dapat dibuktikan dengan aturan integral sederhana.
Turunan domain-frekuensi F′ adalah turunan pertama dari F.
Turunan umum domain-frekuensi Bentuk yang lebih umum, turunan ke-n dari F(s).
Turunan f diasumsikan sebagai fungsi yang dapat didiferensiasi, dan turunannya diasumsikan bertipe eksponensial. Lalu didapatkan melalui integral parsial
Turunan kedua f diasumsikan diturunkan 2 kali dan turunan kedua merupakan eksponensial. Dilanjutkan dengan memasukkan properti turunan ke f′(t).
Turunan secara umum f diasumsikan diturunkan ke-n kali, dengan turunan ke-n adalah eksponensial. Dilanjutkan dengan induksi matematika.
Integrasi domain-frekuensi
Integrasi domain-waktu u(t) adalah fungsi step Heaviside. Catat bahwa (u ∗ f)(t) adalah konvolusi dari u(t) dan f(t).
Frequency shifting
Time shifting u(t) adalah fungsi step Heaviside
Time scaling
Perkalian Integrasi dilakukan sepanjang garis vertikal Re(σ) = c yang terletak di antara luasan konvergen F.
Konvolusi
Konjugasi kompleks
Cross-correlation
Fungsi periodik f(t) adalah fungsi periodik dari periode T sehingga f(t) = f(t + T), untuk semua t ≥ 0.

Kutipan Sunting

  1. "Laplace transformation - Glosarium Pusat Bahasa". bahasasastra.kemdikbud.go.id/glosarium/. Diakses tanggal 08-10-2022. 
  2. Korn & Korn 1967, hlm. 226–227
  3. Bracewell 2000, Table 14.1, p. 385

Referensi Sunting

Modern Sunting

  • Bracewell, Ronald N. (1978), The Fourier Transform and its Applications (edisi ke-2nd), McGraw-Hill Kogakusha, ISBN 978-0-07-007013-4 
  • Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (edisi ke-3rd), Boston: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-116043-8 
  • Feller, William (1971), An introduction to probability theory and its applications. Vol. II., Second edition, New York: John Wiley & Sons, MR 0270403 
  • Korn, G. A.; Korn, T. M. (1967), Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (edisi ke-2nd), McGraw-Hill Companies, ISBN 978-0-07-035370-1 
  • Widder, David Vernon (1941), The Laplace Transform, Princeton Mathematical Series, v. 6, Princeton University Press, MR 0005923 
  • Williams, J. (1973), Laplace Transforms, Problem Solvers, George Allen & Unwin, ISBN 978-0-04-512021-5 
  • Takacs, J. (1953), "Fourier amplitudok meghatarozasa operatorszamitassal", Magyar Hiradastechnika (dalam bahasa Hungarian), IV (7–8): 93–96 

Klasik Sunting

  • Euler, L. (1744), "De constructione aequationum" [The Construction of Equations], Opera Omnia, 1st series (dalam bahasa Latin), 22: 150–161 
  • Euler, L. (1753), "Methodus aequationes differentiales" [A Method for Solving Differential Equations], Opera Omnia, 1st series (dalam bahasa Latin), 22: 181–213 
  • Euler, L. (1992) [1769], "Institutiones calculi integralis, Volume 2" [Institutions of Integral Calculus], Opera Omnia, 1st series (dalam bahasa Latin), Basel: Birkhäuser, 12, ISBN 978-3764314743 , Chapters 3–5
  • Euler, Leonhard (1769), Institutiones calculi integralis [Institutions of Integral Calculus] (dalam bahasa Latin), II, Paris: Petropoli, ch. 3–5, pp. 57–153 
  • Grattan-Guinness, I (1997), "Laplace's integral solutions to partial differential equations", dalam Gillispie, C. C., Pierre Simon Laplace 1749–1827: A Life in Exact Science, Princeton: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-01185-1 
  • Lagrange, J. L. (1773), Mémoire sur l'utilité de la méthode, Œuvres de Lagrange, 2, hlm. 171–234 

Bacaan lanjutan Sunting

  • Arendt, Wolfgang; Batty, Charles J.K.; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank (2002), Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, Birkhäuser Basel, ISBN 978-3-7643-6549-3 .
  • Davies, Brian (2002), Integral transforms and their applications (edisi ke-Third), New York: Springer, ISBN 978-0-387-95314-4 
  • Deakin, M. A. B. (1981), "The development of the Laplace transform", Archive for History of Exact Sciences, 25 (4): 343–390, doi:10.1007/BF01395660 
  • Deakin, M. A. B. (1982), "The development of the Laplace transform", Archive for History of Exact Sciences, 26 (4): 351–381, doi:10.1007/BF00418754 
  • Doetsch, Gustav (1974), Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation, Springer, ISBN 978-0-387-06407-9 
  • Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970), Mathematical methods of physics (2nd ed.), New York: W. A. Benjamin, ISBN 0-8053-7002-1
  • Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. (1998), Handbook of Integral Equations, Boca Raton: CRC Press, ISBN 978-0-8493-2876-3 
  • Schwartz, Laurent (1952), "Transformation de Laplace des distributions", Comm. Sém. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.] (dalam bahasa French), 1952: 196–206, MR 0052555 
  • Schwartz, Laurent (2008) [1966], Mathematics for the Physical Sciences, Dover Books on Mathematics, New York: Dover Publications, hlm. 215–241, ISBN 978-0-486-46662-0  - See Chapter VI. The Laplace transform.
  • Siebert, William McC. (1986), Circuits, Signals, and Systems, Cambridge, Massachusetts: MIT Press, ISBN 978-0-262-19229-3 
  • Widder, David Vernon (1945), "What is the Laplace transform?", The American Mathematical Monthly, 52 (8): 419–425, doi:10.2307/2305640, ISSN 0002-9890, JSTOR 2305640, MR 0013447 

Pranala luar Sunting

Wikimedia Commons memiliki media mengenai Laplace transformation.
wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Transformasi Laplace atau alih ragam Laplace 1 adalah suatu teknik untuk menyederhanakan permasalahan dalam suatu sistem yang mengandung masukan dan keluaran dengan melakukan transformasi dari suatu domain pengamatan ke domain pengamatan yang lain Dalam matematika jenis transformasi atau alih ragam ini merupakan suatu konsep yang penting sebagai bagian dari analisis fungsional yang dapat membantu dalam melakukan analisis sistem invarian waktu linier seperti rangkaian elektronik osilator harmonik perangkat optik dan sistem sistem mekanik Dengan mengetahui deksripsi matematika atau fungsional sederhana dari masukan atau keluaran suatu sistem transformasi Laplace dapat memberikan deskripsi funsional alternatif yang kadang dapat menyederhanakan proses analisis kelakukan dari sistem atau membuat suatu sistem baru yang berdasarkan suatu kumpulan spesifikasi Dalam sistem fisik sebenarnya transformasi Laplace sering dianggap sebagai suatu transformasi dari cara pandang domain waktu di mana masukan dan keluaran dimengerti sebagai fungsi dari waktu ke cara pandang domain frekuensi di mana masukan dan keluaran yang sama dipandang sebagai fungsi dari frekuensi angular kompleks atau radian per satuan waktu Transformasi ini tidak hanya menyediakan cara mendasar lain untuk mengerti kelakukan suatu sistem tetapi juga secara drastis mengurangi kerumitan perhitungan matematika yang dibutuhkan dalam menganalisis suatu sistem Transformasi Laplace memiliki peran penting dalam aplikasi aplikasi dalam bidang fisika optik rekayasa listrik rekayasa kendali pengolahan isyarat dan teori kemungkinan Nama transformasi ini diberikan untuk menghormati seorang ahli matematika dan astronomi Pierre Simon Laplace yang menggunakan teknik transformasi ini pada hasil karyanya dalam teori kemungkinan Sebenarnya teknik ini ditemukan sebelumnya oleh Leonhard Euler seorang ahli matematika prolific Swiss abad kedelapanbelas Daftar isi 1 Definisi formal 2 Kutipan 3 Referensi 3 1 Modern 3 2 Klasik 4 Bacaan lanjutan 5 Pranala luarDefinisi formal SuntingTransformasi Laplace dari suatu fungsi f t yang terdefinisi untuk semua nilai t riil dengan t 0 adalah fungsi F s yang didefinisikan sebagai F s L f t 0 e s t f t d t displaystyle F s mathcal L left f t right int 0 infty e st f t dt nbsp Limit bawah 0 displaystyle 0 nbsp adalah kependekan dari lim ϵ 0 ϵ displaystyle lim epsilon rightarrow 0 epsilon nbsp dan memastikan inklusi dari keseluruhan fungsi delta Dirac d t displaystyle delta t nbsp pada 0 jika terdapat suatu impuls dalam f t pada 0 Secara umum parameter s bernilai kompleks s s i w displaystyle s sigma i omega nbsp Jenis transformasi integral ini memiliki sejumlah sifat yang membuatnya amat berguna bagi analisis sistem dinamik linier Keunggulan utama dari cara ini adalah mengubah proses diferensiasi menjadi perkalian dan integrasi menjadi pembagian dengan adanya s Hal ini mirip dengan fungsi logaritma yang mengubah operasi perkalian dan pembagian menjadi penjumlahan dan pengurangan Perubahan persamaan integral dan diferensial menjadi bentuk polinomial menyederhanakan proses penyelesaian Tabel berikut ini adalah daftar transformasi Laplace 2 Karakteristik transformasi Laplace Domain waktu Domain s KeteranganLinearitas a f t b g t displaystyle af t bg t nbsp a F s b G s displaystyle aF s bG s nbsp Dapat dibuktikan dengan aturan integral sederhana Turunan domain frekuensi t f t displaystyle tf t nbsp F s displaystyle F s nbsp F adalah turunan pertama dari F Turunan umum domain frekuensi t n f t displaystyle t n f t nbsp 1 n F n s displaystyle 1 n F n s nbsp Bentuk yang lebih umum turunan ke n dari F s Turunan f t displaystyle f t nbsp s F s f 0 displaystyle sF s f 0 nbsp f diasumsikan sebagai fungsi yang dapat didiferensiasi dan turunannya diasumsikan bertipe eksponensial Lalu didapatkan melalui integral parsialTurunan kedua f t displaystyle f t nbsp s 2 F s s f 0 f 0 displaystyle s 2 F s sf 0 f 0 nbsp f diasumsikan diturunkan 2 kali dan turunan kedua merupakan eksponensial Dilanjutkan dengan memasukkan properti turunan ke f t Turunan secara umum f n t displaystyle f n t nbsp s n F s k 1 n s n k f k 1 0 displaystyle s n F s sum k 1 n s n k f k 1 0 nbsp f diasumsikan diturunkan ke n kali dengan turunan ke n adalah eksponensial Dilanjutkan dengan induksi matematika Integrasi domain frekuensi 1 t f t displaystyle frac 1 t f t nbsp s F s d s displaystyle int s infty F sigma d sigma nbsp Integrasi domain waktu 0 t f t d t u f t displaystyle int 0 t f tau d tau u f t nbsp 1 s F s displaystyle 1 over s F s nbsp u t adalah fungsi step Heaviside Catat bahwa u f t adalah konvolusi dari u t dan f t Frequency shifting e a t f t displaystyle e at f t nbsp F s a displaystyle F s a nbsp Time shifting f t a u t a displaystyle f t a u t a nbsp e a s F s displaystyle e as F s nbsp u t adalah fungsi step HeavisideTime scaling f a t displaystyle f at nbsp 1 a F s a displaystyle frac 1 a F left s over a right nbsp a gt 0 displaystyle a gt 0 nbsp Perkalian f t g t displaystyle f t g t nbsp 1 2 p i lim T c i T c i T F s G s s d s displaystyle frac 1 2 pi i lim T to infty int c iT c iT F sigma G s sigma d sigma nbsp Integrasi dilakukan sepanjang garis vertikal Re s c yang terletak di antara luasan konvergen F 3 Konvolusi f g t 0 t f t g t t d t displaystyle f g t int 0 t f tau g t tau d tau nbsp F s G s displaystyle F s cdot G s nbsp Konjugasi kompleks f t displaystyle f t nbsp F s displaystyle F s nbsp Cross correlation f t g t displaystyle f t star g t nbsp F s G s displaystyle F s cdot G s nbsp Fungsi periodik f t displaystyle f t nbsp 1 1 e T s 0 T e s t f t d t displaystyle 1 over 1 e Ts int 0 T e st f t dt nbsp f t adalah fungsi periodik dari periode T sehingga f t f t T untuk semua t 0 Kutipan Sunting Laplace transformation Glosarium Pusat Bahasa bahasasastra kemdikbud go id glosarium Diakses tanggal 08 10 2022 Periksa nilai tanggal di access date bantuan Korn amp Korn 1967 hlm 226 227 Bracewell 2000 Table 14 1 p 385Referensi SuntingModern Sunting Bracewell Ronald N 1978 The Fourier Transform and its Applications edisi ke 2nd McGraw Hill Kogakusha ISBN 978 0 07 007013 4 Bracewell R N 2000 The Fourier Transform and Its Applications edisi ke 3rd Boston McGraw Hill ISBN 978 0 07 116043 8 Feller William 1971 An introduction to probability theory and its applications Vol II Second edition New York John Wiley amp Sons MR 0270403 Korn G A Korn T M 1967 Mathematical Handbook for Scientists and Engineers edisi ke 2nd McGraw Hill Companies ISBN 978 0 07 035370 1 Widder David Vernon 1941 The Laplace Transform Princeton Mathematical Series v 6 Princeton University Press MR 0005923 Williams J 1973 Laplace Transforms Problem Solvers George Allen amp Unwin ISBN 978 0 04 512021 5 Takacs J 1953 Fourier amplitudok meghatarozasa operatorszamitassal Magyar Hiradastechnika dalam bahasa Hungarian IV 7 8 93 96 Pemeliharaan CS1 Bahasa yang tidak diketahui link Klasik Sunting Euler L 1744 De constructione aequationum The Construction of Equations Opera Omnia 1st series dalam bahasa Latin 22 150 161 Euler L 1753 Methodus aequationes differentiales A Method for Solving Differential Equations Opera Omnia 1st series dalam bahasa Latin 22 181 213 Euler L 1992 1769 Institutiones calculi integralis Volume 2 Institutions of Integral Calculus Opera Omnia 1st series dalam bahasa Latin Basel Birkhauser 12 ISBN 978 3764314743 Chapters 3 5 Euler Leonhard 1769 Institutiones calculi integralis Institutions of Integral Calculus dalam bahasa Latin II Paris Petropoli ch 3 5 pp 57 153 Grattan Guinness I 1997 Laplace s integral solutions to partial differential equations dalam Gillispie C C Pierre Simon Laplace 1749 1827 A Life in Exact Science Princeton Princeton University Press ISBN 978 0 691 01185 1 Lagrange J L 1773 Memoire sur l utilite de la methode Œuvres de Lagrange 2 hlm 171 234 Bacaan lanjutan SuntingArendt Wolfgang Batty Charles J K Hieber Matthias Neubrander Frank 2002 Vector Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems Birkhauser Basel ISBN 978 3 7643 6549 3 Davies Brian 2002 Integral transforms and their applications edisi ke Third New York Springer ISBN 978 0 387 95314 4 Deakin M A B 1981 The development of the Laplace transform Archive for History of Exact Sciences 25 4 343 390 doi 10 1007 BF01395660 Deakin M A B 1982 The development of the Laplace transform Archive for History of Exact Sciences 26 4 351 381 doi 10 1007 BF00418754 Doetsch Gustav 1974 Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation Springer ISBN 978 0 387 06407 9 Mathews Jon Walker Robert L 1970 Mathematical methods of physics 2nd ed New York W A Benjamin ISBN 0 8053 7002 1 Polyanin A D Manzhirov A V 1998 Handbook of Integral Equations Boca Raton CRC Press ISBN 978 0 8493 2876 3 Schwartz Laurent 1952 Transformation de Laplace des distributions Comm Sem Math Univ Lund Medd Lunds Univ Mat Sem dalam bahasa French 1952 196 206 MR 0052555 Pemeliharaan CS1 Bahasa yang tidak diketahui link Schwartz Laurent 2008 1966 Mathematics for the Physical Sciences Dover Books on Mathematics New York Dover Publications hlm 215 241 ISBN 978 0 486 46662 0 See Chapter VI The Laplace transform Siebert William McC 1986 Circuits Signals and Systems Cambridge Massachusetts MIT Press ISBN 978 0 262 19229 3 Widder David Vernon 1945 What is the Laplace transform The American Mathematical Monthly 52 8 419 425 doi 10 2307 2305640 ISSN 0002 9890 JSTOR 2305640 MR 0013447 Pranala luar Sunting nbsp Wikimedia Commons memiliki media mengenai Laplace transformation Hazewinkel Michiel ed 2001 1994 Laplace transform Encyclopedia of Mathematics Springer Science Business Media B V Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1 55608 010 4 Online Computation of the transform or inverse transform wims unice fr Tables of Integral Transforms at EqWorld The World of Mathematical Equations Inggris Weisstein Eric W Laplace Transform MathWorld Good explanations of the initial and final value theorems Diarsipkan 2009 01 08 di Wayback Machine Laplace Transforms at MathPages Computational Knowledge Engine allows to easily calculate Laplace Transforms and its inverse Transform Laplace Calculator Diarsipkan 2018 03 17 di Wayback Machine to calculate Laplace Transforms online easily Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Transformasi Laplace amp oldid 23046498