Sistem aksioma

Sistem aksioma adalah sistem penerapan dalam matematika dari berbagai metode logika atas sekelompok unsur, relasi, dan operasi. Dalam proses penalaran matematika, suatu rumus (teorema) matematika terdiri dari beberapa hipotesis dan kesimpulan.

Sejarah

Euklides dari Iskandariyah menulis presentasi aksioma yang pertama pada geometri Euklides dan teori bilangan. Banyak sistem aksiomatik yang dikembangkan pada abad ke-19. Metode matematis telah berkembang secara baik dalam Mesir kuno, Babilonia, India, dan Cina.

Klasifikasi aksioma

• Material artinya unsur-unsur dan relasi-relasi yang terdapat dalam aksioma dikaitkan langsung dengan realitas atau materi tertentu yang dianggap sudah diketahui.
• Formal artinya unsur dikosongkan dari arti, tetapi masih memungkinkan adanya unsur atau relasi yang dinyatakan dengan bahasa biasa, antara lain masih bermaknanya kata “atau”, “dan”, dan sebagainya dalam logika.
• Diformalkan artinya semua unsur termasuk tanda logika dikosongkan dari makna, sedemikian sehingga semua unsur diperlakukan sebagai simbol belaka.

Jenis sistem aksioma

• Istilah tak didefinisikan, merupakan istilah dasar (primitif) yang digunakan untuk membangun istilah lain, arti istilahnya sendiri tidak didefinisikan, tetapi dideskripsikan. Contohnya, pada sistem matematika tertentu, dikenal istilah tak terdifinisi seperti himpunan, titik, garis, dan bidang.
• Istilah definisi, merupakan istilah yang digunakan dalam sistem, bukan istilah dasar, dan dirumuskan dari istilah dasar sehingga mempunyai arti tertentu dan perumusannya menjadi suatu pernyataan yang benar. Dalam suatu definisi jika berarti jika dan hanya jika. Suatu definisi yang baik mempunyai ciri berikut.
  • Jelas, tepat, dan mempunyai satu makna.
  • Hanya menggunakan istilah dasar atau yang telah ada sebelumnya
  • Konsisten, dalam setiap kasus mempunyai arti yang sama.
  • Jangkauannya cukup luas untuk dapat memuat sebanyak mungkin objek dari sistem.
• Aksioma atau Postulat, adalah suatu pernyataan yang diandaikan benar pada suatu sistem dan diterima tanpa pembuktian. Aksioma hanya memuat istilah dasar dan istilah terdefinisi, tidak berdiri sendiri, dan tidak diuji kebenarannya. Sekelompok aksioma dalam suatu sistem harus konsisten, dapat membangun sistem tersebut, dan tidak saling bertentangan.
• Teorema, adalah suatu pernyataan matematika yang dirumuskan secara logika dan dibuktikan. Suatu teorema terdiri dari beberapa hipotesis dan kesimpulan, yang dapat dibuktikan dengan memanfaatkan istilah dasar, istilah terdefinisi, aksioma, dan pernyataan benar lainnya.

Struktur dan sistem dalam Matematika

• Sistem adalah sekumpulan unsur atau elemen yang terkait satu sama lainnya dan mempunyai

tujuan tertentu.

• Struktur adalah suatu sistem yang didalamnya memuat atau diperhatikan adanya hubungan

yang hierarkis (berjenjang).

• Sistem: Sekumpulan Unsur atau elemen yang terkait satu sama lainnya dan mempunyai

tujuan tertentu. Struktur Matematika dinamakan struktur deduktif aksiomatik.

Contoh penggunaan Aksioma

Suatu definisi dapat dijelaskan latar belakangnya. Contoh, adalah definisi gabungan dua himpunan. Tujuan menggabungkan dua himpunan adalah agar anggota himpunan gabungannya bertambah banyak. Agar tujuan ini tercapai, syarat keanggotaannya harus diperlemah. Jika himpunan yang digabungkan adalah A dan B, maka cara memperlemahnya adalah dengan memilih salah satu syarat, anggota dari A, atau anggota dari B. Berdasarkan ini, gabungan dua himpunan harus didefinisikan sebagai A U B = { x | x ∈ A atau x ∈ B}.

Mendifinisikan istilah himpunan hingga, sebagai suatu himpunan yang terdiri dari n unsur (n bilangan asli), atau himpunan kosong. Unsur himpunan hingga yang tak kosong berkorespondensi dengan himpunan {1,2,.......,n)}, n adalah bilangan asli.

Pada himpunan bilangan riil R himpunan bagian P C R dari ketiga aksioma berikut.

• Untuk sebarang x ∈ R berlaku salah satu dari a ∈ P, -a ∈ P, a = 0 (trikotomi).
• Jika x dan y ∈ P, maka x + y ∈ P.
• Jika x dan y ∈ P, maka xy ∈ P.

Dalam kaitan ini, P dinamakan himpunan bilangan positif dan unsurnya dinamakan bilangan positif.