www.wikidata.id-id.nina.az

Geodesik Untuk geodesik pada Bumi lihat geodesik pada sebuah elipsoid Untuk geodesik dalam relativitas umum lihat geodes

Geodesik

Untuk geodesik pada Bumi, lihat geodesik pada sebuah elipsoid. Untuk geodesik dalam relativitas umum, lihat geodesik dalam relativitas umum. Untuk kegunaan lainnya, lihat Geodesik (disambiguasi).

Dalam geometri diferensial, geodesik (/ˌdʒiːəˈdɛsɪk, ˌdʒiːoʊ-, -ˈdiː-, -zɪk/)) adalah generalisasi gagasan "garis lurus" ke "ruang melengkung". Istilah "geodesik" berasal dari geodesi, ilmu mengukur ukuran dan bentuk Bumi; Dalam pengertian aslinya, geodesik adalah rute terpendek antara dua titik di permukaan Bumi, yaitu segmen lingkaran besar. Istilah ini telah digeneralisasi untuk mencakup pengukuran di ruang matematis yang jauh lebih umum; sebagai contoh, dalam teori graf, seseorang dapat mempertimbangkan geodesik antara dua simpul/simpul dari sebuah grafik.

Sebuah segitiga geodesik pada bola. Geodesik adalah busur lingkaran besar.

Pengantar Sunting

Jalur terpendek antara dua titik yang diberikan dalam ruang diasumsikan sejenis diferensial dapat mendefinisikan dengan cara menggunakan persamaan untuk panjang dari kurva (fungsi f dari interval terbuka dari R ke ruang dimensi lain) setelah itu kemudian meminimalkan panjang antara titik tersebut dengan menggunakan kalkulus variasi. Hal tersebut memiliki beberapa masalah teknis kecil karena ada ruang dengan berdimensi tak hingga dengan cara berbeda untuk membuat hasil keliling pada jalur terpendek. Lebih mudah untuk dibatasi beberapa pengumpulan kurva yang berparameter "dengan kecepatan konstan" 1 yang berarti jarak dari f ( s ) ( t ) sepanjang kurva sama dengan s - t. Secara setara, kuantitas yang berbeda dapat digunakan, disebut energi kurva; meminimalisasi kan energi yang menyebabkan persamaan yang sama untuk geodesik ("kecepatan konstan" adalah konsekuensi dari minimalisasi)[butuh rujukan] Secara intuitif, seseorang dapat memahami formulasi kedua ini dengan mencatat bahwa sebuah pita elastis yang direntangkan di antara dua titik akan berkontraksi panjangnya, dan dengan demikian akan meminimalkan energinya. Bentuk pita yang dihasilkan adalah geodesik.

Ada kemungkinan bahwa beberapa kurva berbeda antara dua titik memperkecil jarak, seperti halnya dua titik yang berlawanan secara diametris pada sebuah bola. Dalam kasus seperti itu, salah satu kurva ini adalah geodesik.

Segmen yang berdekatan dari geodesik lagi lagi merupakan geodesik.

Secara umum, geodesik tidak sama dengan "kurva terpendek" antara dua titik, meskipun kedua konsep tersebut berkaitan erat. Perbedaannya adalah bahwa geodesik hanya merupakan jarak terdekat antar titik secara lokal , dan diparameterisasi dengan "kecepatan konstan". Saat melakukan "jalan memutar" pada lingkaran besar antara dua titik pada sebuah bola adalah geodesik tetapi bukan jalur terpendek antar titik. Terdapat rumus peta dari interval satuan pada garis bilangan real ke dirinya sendiri memberikan jalur terpendek antara 0 dan 1, tetapi bukan merupakan geodesik karena kecepatan gerakan yang sesuai dari suatu titik tidak konstan.

Geodesik umumnya terlihat dalam studi Geometri Riemannian dan geometri metrik yang lebih umum. Dalam relativitas umum, geodesik dalam ruangwaktu menggambarkan gerakan partikel titik di bawah pengaruh gravitasi saja. Secara khusus, jalur yang diambil oleh batu yang jatuh, satelit yang mengorbit, atau membentuk orbit planet semuanya geodesik dalam ruangwaktu melengkung. Secara lebih umum, topik geometri sub-Riemannian berkaitan dengan jalur yang diambil objek saat mereka tidak bebas, dan pergerakannya dibatasi dalam berbagai cara.

Artikel ini menyajikan formalisme matematika yang terlibat dalam mendefinisikan, menemukan, dan membuktikan keberadaan geodesik, dalam kasus Manifold Riemannian dan Pseudo-Riemannian. Artikel geodesik (relativitas umum) membahas kasus khusus relativitas umum secara lebih rinci.

Contoh Sunting

Sebuah geodesik pada ellipsoid triaksial.
Jika seekor serangga ditempatkan di permukaan dan terus berjalan "maju", menurut definisi ia akan menelusuri geodesik.

Contoh yang paling dikenal adalah garis lurus dalam geometri Euclidean. Pada sebuah bola gambaran geodesik adalah lingkaran besar. Jalur terpendek dari titik A ke titik B pada sebuah bola diberikan oleh lebih pendek busur lingkaran besar yang melewati A dan B. Ketika A dan B adalah titik antipodal, maka ada banyak jalur terpendek di antara keduanya. Geodesik pada ellipsoid berperilaku lebih rumit daripada pada bola; secara khusus, mereka tidak tertutup secara umum (lihat gambar).

Geometri metrik Sunting

Dalam geometri metrik, geodesik adalah kurva yang di mana-mana secara lokal merupakan peminimal jarak. Lebih tepatnya, kurva γ : I → M dari interval I ke bilangan real ke ruang metrik M adalah geodesik jika ada konstanta v ≥ 0 sehingga untuk setiap t ∈ I ada lingkungan J dari t di I seperti bahwa untuk setiap t1 t2 ∈ J kita punya:

Hal tersebut menggeneralisasi pengertian geodesik untuk lipatan Riemannian. Namun dalam geometri metrik, geodesi yang dipertimbangkan sering kali dilengkapi dengan parameterisasi natural, yaitu pada identitas dan

Jika persamaan terakhir terpenuhi untuk semua t1 t2 ∈ I, maka geodesi disebut sebagai geodesik minimal atau jalur terpendek.

Secara umum, ruang metrik mungkin tidak memiliki geodesik, kecuali kurva konstan. Di sisi lain, dua titik dalam ruang metrik panjang digabungkan dengan urutan meminimalkan jalur yang dapat diperbaiki, meskipun urutan meminimalkan ini tidak perlu menyatu dengan geodesik.

Geometri Riemannian Sunting

Affine geodesics Sunting

Metode komputasi Sunting

Pemecah yang efisien untuk masalah geodesik minimal pada permukaan yang dianggap sebagai persamaan eikonal telah diusulkan oleh Kimmel dan lainnya.

Aplikasi Sunting

Referensi Sunting

  1. . OxfordDictionaries.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2016-07-15. Diakses tanggal 2016-01-20. 
  2. "Geodesic". Merriam-Webster Dictionary. 
  3. Kimmel, R.; Amir, A.; Bruckstein, A. M. (1995). "Finding shortest paths on surfaces using level sets propagation". IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 17 (6): 635–640. doi:10.1109/34.387512. 
  4. Kimmel, R.; Sethian, J. A. (1998). "Computing Geodesic Paths on Manifolds". Proceedings of the National Academy of Sciences. 95 (15): 8431–8435. Bibcode:1998PNAS...95.8431K. doi:10.1073/pnas.95.15.8431 . PMID 9671694. 

Daftar pustaka Sunting

  • Adler, Ronald; Bazin, Maurice; Schiffer, Menahem (1975), Introduction to General Relativity (edisi ke-2nd), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-000423-8 . See chapter 2.
  • Abraham, Ralph H.; Marsden, Jerrold E. (1978), Foundations of mechanics, London: Benjamin-Cummings, ISBN 978-0-8053-0102-1 . See section 2.7.
  • Jost, Jürgen (2002), Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42627-1 . See section 1.4.
  • Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 (edisi ke-New), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3 .
  • Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1975), Classical Theory of Fields, Oxford: Pergamon, ISBN 978-0-08-018176-9 . See section 87.
  • Misner, Charles W.; Thorne, Kip; Wheeler, John Archibald (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0 
  • Ortín, Tomás (2004), Gravity and strings, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-82475-0 . Perhatikan terutama halaman 7 dan 10.
  • Volkov, Yu.A. (2001) [1994], "Geodesic line", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 .
  • Weinberg, Steven (1972), Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-92567-5 . See chapter 3.

Pranala luar Sunting

wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Untuk geodesik pada Bumi lihat geodesik pada sebuah elipsoid Untuk geodesik dalam relativitas umum lihat geodesik dalam relativitas umum Untuk kegunaan lainnya lihat Geodesik disambiguasi Dalam geometri diferensial geodesik ˌ dʒ iː e ˈ d ɛ s ɪ k ˌ dʒ iː oʊ ˈ d iː z ɪ k 1 2 adalah generalisasi gagasan garis lurus ke ruang melengkung Istilah geodesik berasal dari geodesi ilmu mengukur ukuran dan bentuk Bumi Dalam pengertian aslinya geodesik adalah rute terpendek antara dua titik di permukaan Bumi yaitu segmen lingkaran besar Istilah ini telah digeneralisasi untuk mencakup pengukuran di ruang matematis yang jauh lebih umum sebagai contoh dalam teori graf seseorang dapat mempertimbangkan geodesik antara dua simpul simpul dari sebuah grafik Sebuah segitiga geodesik pada bola Geodesik adalah busur lingkaran besar Daftar isi 1 Pengantar 1 1 Contoh 2 Geometri metrik 3 Geometri Riemannian 4 Affine geodesics 5 Metode komputasi 6 Aplikasi 7 Referensi 7 1 Daftar pustaka 8 Pranala luarPengantar SuntingJalur terpendek antara dua titik yang diberikan dalam ruang diasumsikan sejenis diferensial dapat mendefinisikan dengan cara menggunakan persamaan untuk panjang dari kurva fungsi f dari interval terbuka dari R ke ruang dimensi lain setelah itu kemudian meminimalkan panjang antara titik tersebut dengan menggunakan kalkulus variasi Hal tersebut memiliki beberapa masalah teknis kecil karena ada ruang dengan berdimensi tak hingga dengan cara berbeda untuk membuat hasil keliling pada jalur terpendek Lebih mudah untuk dibatasi beberapa pengumpulan kurva yang berparameter dengan kecepatan konstan 1 yang berarti jarak dari f s t sepanjang kurva sama dengan s t Secara setara kuantitas yang berbeda dapat digunakan disebut energi kurva meminimalisasi kan energi yang menyebabkan persamaan yang sama untuk geodesik kecepatan konstan adalah konsekuensi dari minimalisasi butuh rujukan Secara intuitif seseorang dapat memahami formulasi kedua ini dengan mencatat bahwa sebuah pita elastis yang direntangkan di antara dua titik akan berkontraksi panjangnya dan dengan demikian akan meminimalkan energinya Bentuk pita yang dihasilkan adalah geodesik Ada kemungkinan bahwa beberapa kurva berbeda antara dua titik memperkecil jarak seperti halnya dua titik yang berlawanan secara diametris pada sebuah bola Dalam kasus seperti itu salah satu kurva ini adalah geodesik Segmen yang berdekatan dari geodesik lagi lagi merupakan geodesik Secara umum geodesik tidak sama dengan kurva terpendek antara dua titik meskipun kedua konsep tersebut berkaitan erat Perbedaannya adalah bahwa geodesik hanya merupakan jarak terdekat antar titik secara lokal dan diparameterisasi dengan kecepatan konstan Saat melakukan jalan memutar pada lingkaran besar antara dua titik pada sebuah bola adalah geodesik tetapi bukan jalur terpendek antar titik Terdapat rumus peta t t 2 displaystyle t to t 2 nbsp dari interval satuan pada garis bilangan real ke dirinya sendiri memberikan jalur terpendek antara 0 dan 1 tetapi bukan merupakan geodesik karena kecepatan gerakan yang sesuai dari suatu titik tidak konstan Geodesik umumnya terlihat dalam studi Geometri Riemannian dan geometri metrik yang lebih umum Dalam relativitas umum geodesik dalam ruangwaktu menggambarkan gerakan partikel titik di bawah pengaruh gravitasi saja Secara khusus jalur yang diambil oleh batu yang jatuh satelit yang mengorbit atau membentuk orbit planet semuanya geodesik dalam ruangwaktu melengkung Secara lebih umum topik geometri sub Riemannian berkaitan dengan jalur yang diambil objek saat mereka tidak bebas dan pergerakannya dibatasi dalam berbagai cara Artikel ini menyajikan formalisme matematika yang terlibat dalam mendefinisikan menemukan dan membuktikan keberadaan geodesik dalam kasus Manifold Riemannian dan Pseudo Riemannian Artikel geodesik relativitas umum membahas kasus khusus relativitas umum secara lebih rinci Contoh Sunting nbsp Sebuah geodesik pada ellipsoid triaksial nbsp Jika seekor serangga ditempatkan di permukaan dan terus berjalan maju menurut definisi ia akan menelusuri geodesik Contoh yang paling dikenal adalah garis lurus dalam geometri Euclidean Pada sebuah bola gambaran geodesik adalah lingkaran besar Jalur terpendek dari titik A ke titik B pada sebuah bola diberikan oleh lebih pendek busur lingkaran besar yang melewati A dan B Ketika A dan B adalah titik antipodal maka ada banyak jalur terpendek di antara keduanya Geodesik pada ellipsoid berperilaku lebih rumit daripada pada bola secara khusus mereka tidak tertutup secara umum lihat gambar Geometri metrik SuntingDalam geometri metrik geodesik adalah kurva yang di mana mana secara lokal merupakan peminimal jarak Lebih tepatnya kurva g I M dari interval I ke bilangan real ke ruang metrik M adalah geodesik jika ada konstanta v 0 sehingga untuk setiap t I ada lingkungan J dari t di I seperti bahwa untuk setiap t1 t2 J kita punya d g t 1 g t 2 v t 1 t 2 displaystyle d gamma t 1 gamma t 2 v left t 1 t 2 right nbsp Hal tersebut menggeneralisasi pengertian geodesik untuk lipatan Riemannian Namun dalam geometri metrik geodesi yang dipertimbangkan sering kali dilengkapi dengan parameterisasi natural yaitu pada identitas dan d g t 1 g t 2 t 1 t 2 displaystyle d gamma t 1 gamma t 2 left t 1 t 2 right nbsp Jika persamaan terakhir terpenuhi untuk semua t1 t2 I maka geodesi disebut sebagai geodesik minimal atau jalur terpendek Secara umum ruang metrik mungkin tidak memiliki geodesik kecuali kurva konstan Di sisi lain dua titik dalam ruang metrik panjang digabungkan dengan urutan meminimalkan jalur yang dapat diperbaiki meskipun urutan meminimalkan ini tidak perlu menyatu dengan geodesik Geometri Riemannian SuntingAffine geodesics SuntingMetode komputasi SuntingPemecah yang efisien untuk masalah geodesik minimal pada permukaan yang dianggap sebagai persamaan eikonal telah diusulkan oleh Kimmel dan lainnya 3 4 Aplikasi SuntingReferensi Sunting geodesic definition of geodesic in English from the Oxford dictionary OxfordDictionaries com Diarsipkan dari versi asli tanggal 2016 07 15 Diakses tanggal 2016 01 20 Geodesic Merriam Webster Dictionary Kimmel R Amir A Bruckstein A M 1995 Finding shortest paths on surfaces using level sets propagation IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 17 6 635 640 doi 10 1109 34 387512 Kimmel R Sethian J A 1998 Computing Geodesic Paths on Manifolds Proceedings of the National Academy of Sciences 95 15 8431 8435 Bibcode 1998PNAS 95 8431K doi 10 1073 pnas 95 15 8431 nbsp PMID 9671694 Daftar pustaka Sunting Adler Ronald Bazin Maurice Schiffer Menahem 1975 Introduction to General Relativity edisi ke 2nd New York McGraw Hill ISBN 978 0 07 000423 8 See chapter 2 Abraham Ralph H Marsden Jerrold E 1978 Foundations of mechanics London Benjamin Cummings ISBN 978 0 8053 0102 1 See section 2 7 Jost Jurgen 2002 Riemannian Geometry and Geometric Analysis Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 3 540 42627 1 See section 1 4 Kobayashi Shoshichi Nomizu Katsumi 1996 Foundations of Differential Geometry Vol 1 edisi ke New Wiley Interscience ISBN 0 471 15733 3 Landau L D Lifshitz E M 1975 Classical Theory of Fields Oxford Pergamon ISBN 978 0 08 018176 9 See section 87 Misner Charles W Thorne Kip Wheeler John Archibald 1973 Gravitation W H Freeman ISBN 978 0 7167 0344 0 Ortin Tomas 2004 Gravity and strings Cambridge University Press ISBN 978 0 521 82475 0 Perhatikan terutama halaman 7 dan 10 Volkov Yu A 2001 1994 Geodesic line dalam Hazewinkel Michiel Encyclopedia of Mathematics Springer Science Business Media B V Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1 55608 010 4 Weinberg Steven 1972 Gravitation and Cosmology Principles and Applications of the General Theory of Relativity New York John Wiley amp Sons ISBN 978 0 471 92567 5 See chapter 3 Pranala luar SuntingGeodesics Revisited Diarsipkan 2013 02 03 di Wayback Machine Pengantar geodesik termasuk dua cara turunan dari persamaan geodesik dengan aplikasi dalam geometri geodesik pada bola dan torus mekanika brakistokron dan optik berkas cahaya dalam medium non homogen Geodesics on a parametric surface sage interact Diarsipkan 2023 05 30 di Wayback Machine Lembar kerja interaktif SageMath untuk menghitung dan menggambarkan geodesik pada permukaan parametrik Totally geodesic submanifold Diarsipkan 2015 08 10 di Wayback Machine di Manifold Atlas Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Geodesik amp oldid 23936234