www.wikidata.id-id.nina.az

Fungtor Halaman ini berisi artikel tentang konsep matematika Untuk kegunaan lain lihat disambiguasi Functoriality berali

Fungtor

Halaman ini berisi artikel tentang konsep matematika. Untuk kegunaan lain, lihat Fungtor (disambiguasi).
"Functoriality" beralih ke halaman ini. Untuk konjektur funktorialiti Langland dalam teori bilangan, lihat Program Langland § Funktorialiti.

Dalam matematika, khususnya teori kategori, fungtor (bahasa Inggris: functor) adalah peta antara kategori. Fungtor pertama kali dipertimbangkan dalam topologi aljabar, dimana objek aljabar (yaitu grup fundamental) terkait dengan ruang topologi, dan peta antara objek aljabar dikaitkan dengan kontinu peta ruang. Saat ini, fungtor digunakan di seluruh matematika modern untuk menghubungkan berbagai kategori. Dengan demikian, fungtor penting dalam semua bidang dalam matematika yang teori kategori diterapkan.

Kata kategori dan fungtor dipinjam oleh matematikawan dari para filsuf Aristoteles dan Rudolf Carnap. Yang terakhir menggunakan functor dalam konteks linguistik; lihat kata fungsi.

Definisi Sunting

Misalkan C dan D menjadi kategori. A functor F dari C ke D adalah pemetaan

  • mengaitkan ke setiap objek di C dengan objek di D,
  • terkait dengan setiap morfisme in C dengan morfisme di D sehingga dua kondisi berikut berlaku:
    • untuk setiap objek pada C ,
    • untuk morfisme dan pada C.

Artinya, functor harus mempertahankan morfisme identitas dan komposisi morfisme.

Kovarian dan kontravarian Sunting

Lihat pula: Kovarian dan kontravarian (ilmu komputer)

Ada banyak konstruksi dalam matematika yang akan berfungsi tetapi karena fakta bahwa mereka "mengubah morfisme" dan "komposisi terbalik". Kita kemudian mendefinisikan 'contravariant functor' F dari C ke D sebagai pemetaan yang

  • mengaitkan ke setiap objek in C dengan objek di D ,
  • terkait dengan setiap morfisme di C dengan morfisme pada D sehingga dua syarat berikut berlaku:
    • untuk setiap objek di C ,
    • untuk morfisme dan pada C.

Perhatikan bahwa fungsi kontravarian membalikkan arah komposisi.

Fungsi biasa juga disebut fungsi kovarian untuk membedakannya dari fungsi kontravarian. Perhatikan bahwa seseorang juga dapat mendefinisikan fungsi kontravarian sebagai fungsi kovarian pada kategori berlawanan . Beberapa penulis lebih suka menulis semua ekspresi secara kovarian. Artinya, alih-alih mengatakan adalah fungtor kontravarian, mereka hanya menulis (atau terkadang ) dan menyebutnya sebagai functor.

Fungsional kontravarian juga kadang-kadang disebut kofungtor .

Ada konvensi yang mengacu pada "vektor" yaitu, bidang vektor s, elemen ruang bagian dari paket tangen —sebagai "contravariant" dan untuk "covectors" yaitu, 1-bentuk, elemen ruang bagian dari bundel kotangen sebagai "kovarian". Terminologi ini berasal dari fisika, dan alasannya berkaitan dengan posisi indeks ("atas" dan "lantai bawah") dalam ekspresi seperti for or untuk Dalam formalisme ini diamati bahwa simbol transformasi koordinat (mewakili matriks ) bertindak atas dasar vektor "dengan cara yang sama" seperti pada "koordinat kovektor": —sedangkan ia bertindak "dengan cara yang berlawanan" pada "koordinat vektor" (tetapi "dengan cara yang sama" seperti pada covektor dasar: ). Terminologi ini bertentangan dengan yang digunakan dalam teori kategori karena covectors-lah yang memiliki kemunduran secara umum dan dengan demikian menjadi kontravarian , sedangkan vektor pada umumnya adalah kovarian karena dapat didorong ke depan . Lihat pula Kovarian dan kontradiksi vektor.

Fungtor berlawanan Sunting

Setiap functor menginduksi fungsi berlawanan , dimana dan adalah kategori berlawanan ke dan . Menurut definisi, memetakan objek dan morfisme secara identik ke . Karena tidak sesuai dengan sebagai kategori, dan juga untuk , is dibedakan dari . Misalnya saat menulis with , seseorang harus menggunakan keduanya or . Perhatikan bahwa, mengikuti properti kategori berlawanan, .

Bifunctor dan multifunctor Sunting

Bifungtor (juga dikenal sebagai fungtor biner) adalah fungtor yang ranahnya adalah kategori produk. Misalnya, fungtor Hom adalah tipe Cop × C → Set. Ini dapat dilihat sebagai fungtor dalam argumen dua. Fungtor Hom adalah contoh alami; itu bertentangan dalam satu argumen, kovarian di argumen lain.

Multifungtor adalah generalisasi dari konsep fungtor ke variabel n. Jadi, misalnya, bifungtor adalah multifungtor dengan n = 2.

Contoh Sunting

Diagram: Untuk kategori C dan J , diagram tipe J dalam C adalah fungsi kovarian .

Pragemal (teori kategori): Untuk kategori C dan J , a J -presheaf pada C adalah fungsi kontravarian .

Pragemal: Jika X adalah ruang topologi, maka himpunan terbuka di X membentuk himpunan terurut parsial Open(X) di bawah penyertaan. Seperti setiap himpunan yang diurutkan sebagian, Open( X ) membentuk kategori kecil dengan menambahkan satu panah U → V jika dan hanya jika . Fungsional kontravarian pada Open ( X ) disebut pragemal pada X . Misalnya, dengan menetapkan ke setiap set terbuka U aljabar asosiatif dari fungsi kontinu bernilai nyata pada U , salah satunya memperoleh pragemal dari aljabar di X .

Fungtor konstan: Fungtor C → D yang memetakan setiap objek C ke objek tetap X di D dan setiap morfisme di C ke morfisme identitas di X . Functor seperti itu disebut functor konstan atau pilihan .

Endofungtor: Fungtor yang memetakan kategori ke kategori yang sama; misalnya, fungsi polinomial.

Fungtor identitas: dalam kategori C , tertulis 1C atau idC, memetakan objek ke dirinya sendiri dan morfisme ke dirinya sendiri. Functor identitas adalah endofungtor.

Fungtor diagonal: Fungtor diagonal didefinisikan sebagai functor dari D ke kategori fungtor D C yang mengirimkan setiap objek dalam D ke Functor konstan pada objek itu.

Limit fungsi: Untuk tetap kategori indeks J , jika semua functor J → C memiliki limit (misalnya jika C selesai), maka fungsi limit CJ → C menetapkan batasnya ke setiap fungtor. Keberadaan fungtor ini dapat dibuktikan dengan menyadari bahwa ini adalah adjoin kanan ke diagonal fungtor dan menjalankan teorema fungtor adjoin Freyd. Ini membutuhkan versi yang sesuai dari aksioma pilihan. Komentar serupa berlaku untuk fungotor kolimit (yang menetapkan kolom ke setiap functor, dan merupakan kovarian).

Himpunan daya: Himpunan fungtor daya P : Set → Set memetakan setiap himpunan ke himpunan daya dan setiap fungsinya ke peta order ke citranya . Salah satunya juga dapat mempertimbangkan fungtor himpunan daya kontravarian order ke peta yang mengirim ke citra balikannya

Kaitannya dengan konsep kategoris lainnya Sunting

Misalkan C dan D menjadi kategori. Kumpulan semua fungsi dari C hingga D membentuk objek dari kategori: kategori fungtor. Morfisme dalam kategori ini adalah transformasi alami antara fungsi.

Functor sering didefinisikan oleh sifat universal; contohnya adalah produk tensor, jumlah langsung dan produk langsung dari grup atau ruang vektor, konstruksi grup dan modul bebas, limit langsung dan invers. Konsep limit dan kolimit merampat beberapa hal di atas.

Konstruksi semesta sering kali memunculkan pasangan.

Implementasi komputer Sunting

Functor terkadang muncul di pemrograman fungsional. Misalnya, bahasa pemrograman Haskell memiliki kelas Functor where fmap adalah fungsi politik yang digunakan untuk memetakan fungsi (morfisme pada Hask, kategori tipe Haskell) di antara tipe-tipe yang ada untuk fungsi di antara suatu tipe-tipe baru.

Lihat pula Sunting

  • Kategori Fungtor
  • Ekstensi Kan
  • Pseudofungtor

Catatan Sunting

  1. Mac Lane, Saunders (1971), Categories for the Working Mathematician, New York: Springer-Verlag, hlm. 30, ISBN 978-3-540-90035-1 
  2. Carnap, Rudolf (1937). The Logical Syntax of Language, Routledge & Kegan, pp. 13–14.
  3. Jacobson (2009), p. 19, def. 1.2.
  4. Jacobson (2009), hlm. 19–20.
  5. Popescu, Nicolae; Popescu, Liliana (1979). Theory of categories. Dordrecht: Springer. hlm. 12. ISBN 9789400995505. dari versi asli tanggal 2023-07-26. Diakses tanggal 23 April 2016. 
  6. Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992), Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory, Springer, ISBN 978-0-387-97710-2 
  7. Tidak sepenuhnya jelas bahwa tipe data Haskell benar-benar membentuk sebuah kategori. Lihat https://wiki.haskell.org/Hask 2023-07-17 di Wayback Machine. for more details.
  8. See https://wiki.haskell.org/Category_theory/Functor#Functors_in_Haskell 2023-02-06 di Wayback Machine. for more information.

Referensi Sunting

  • Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 2 (edisi ke-2nd), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7 .

Pranala luar Sunting

Lihat informasi mengenai functor di Wiktionary.

Templat:Teori kategori Templat:Functors

wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Halaman ini berisi artikel tentang konsep matematika Untuk kegunaan lain lihat Fungtor disambiguasi Functoriality beralih ke halaman ini Untuk konjektur funktorialiti Langland dalam teori bilangan lihat Program Langland Funktorialiti Dalam matematika khususnya teori kategori fungtor bahasa Inggris functor adalah peta antara kategori Fungtor pertama kali dipertimbangkan dalam topologi aljabar dimana objek aljabar yaitu grup fundamental terkait dengan ruang topologi dan peta antara objek aljabar dikaitkan dengan kontinu peta ruang Saat ini fungtor digunakan di seluruh matematika modern untuk menghubungkan berbagai kategori Dengan demikian fungtor penting dalam semua bidang dalam matematika yang teori kategori diterapkan Kata kategori dan fungtor dipinjam oleh matematikawan dari para filsuf Aristoteles dan Rudolf Carnap 1 Yang terakhir menggunakan functor dalam konteks linguistik 2 lihat kata fungsi Daftar isi 1 Definisi 2 Kovarian dan kontravarian 3 Fungtor berlawanan 4 Bifunctor dan multifunctor 5 Contoh 6 Kaitannya dengan konsep kategoris lainnya 7 Implementasi komputer 8 Lihat pula 9 Catatan 10 Referensi 11 Pranala luarDefinisi SuntingMisalkan C dan D menjadi kategori A functor F dari C ke D adalah pemetaan 3 mengaitkan ke setiap objek X displaystyle X nbsp di C dengan objek F X displaystyle F X nbsp di D terkait dengan setiap morfisme f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp in C dengan morfisme F f F X F Y displaystyle F f colon F X to F Y nbsp di D sehingga dua kondisi berikut berlaku F i d X i d F X displaystyle F mathrm id X mathrm id F X nbsp untuk setiap objek X displaystyle X nbsp pada C F g f F g F f displaystyle F g circ f F g circ F f nbsp untuk morfisme f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp dan g Y Z displaystyle g colon Y to Z nbsp pada C Artinya functor harus mempertahankan morfisme identitas dan komposisi morfisme Kovarian dan kontravarian SuntingLihat pula Kovarian dan kontravarian ilmu komputer Ada banyak konstruksi dalam matematika yang akan berfungsi tetapi karena fakta bahwa mereka mengubah morfisme dan komposisi terbalik Kita kemudian mendefinisikan contravariant functor F dari C ke D sebagai pemetaan yang mengaitkan ke setiap objek X displaystyle X nbsp in C dengan objek F X displaystyle F X nbsp di D terkait dengan setiap morfisme f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp di C dengan morfisme F f F Y F X displaystyle F f colon F Y to F X nbsp pada D sehingga dua syarat berikut berlaku F i d X i d F X displaystyle F mathrm id X mathrm id F X nbsp untuk setiap objek X displaystyle X nbsp di C F g f F f F g displaystyle F g circ f F f circ F g nbsp untuk morfisme f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp dan g Y Z displaystyle g colon Y to Z nbsp pada C Perhatikan bahwa fungsi kontravarian membalikkan arah komposisi Fungsi biasa juga disebut fungsi kovarian untuk membedakannya dari fungsi kontravarian Perhatikan bahwa seseorang juga dapat mendefinisikan fungsi kontravarian sebagai fungsi kovarian pada kategori berlawanan C o p displaystyle C mathrm op nbsp 4 Beberapa penulis lebih suka menulis semua ekspresi secara kovarian Artinya alih alih mengatakan F C D displaystyle F colon C to D nbsp adalah fungtor kontravarian mereka hanya menulis F C o p D displaystyle F colon C mathrm op to D nbsp atau terkadang F C D o p displaystyle F colon C to D mathrm op nbsp dan menyebutnya sebagai functor Fungsional kontravarian juga kadang kadang disebut kofungtor 5 Ada konvensi yang mengacu pada vektor yaitu bidang vektor s elemen ruang bagian G T M displaystyle Gamma TM nbsp dari paket tangen T M displaystyle TM nbsp sebagai contravariant dan untuk covectors yaitu 1 bentuk elemen ruang bagian G T M displaystyle Gamma T M nbsp dari bundel kotangen T M displaystyle T M nbsp sebagai kovarian Terminologi ini berasal dari fisika dan alasannya berkaitan dengan posisi indeks atas dan lantai bawah dalam ekspresi seperti x i L j i x j displaystyle x i Lambda j i x j nbsp for x L x displaystyle mathbf x boldsymbol Lambda mathbf x nbsp or w i L i j w j displaystyle omega i Lambda i j omega j nbsp untuk w w L T displaystyle boldsymbol omega boldsymbol omega boldsymbol Lambda T nbsp Dalam formalisme ini diamati bahwa simbol transformasi koordinat L i j displaystyle Lambda i j nbsp mewakili matriks L T displaystyle boldsymbol Lambda T nbsp bertindak atas dasar vektor dengan cara yang sama seperti pada koordinat kovektor e i L i j e j displaystyle mathbf e i Lambda i j mathbf e j nbsp sedangkan ia bertindak dengan cara yang berlawanan pada koordinat vektor tetapi dengan cara yang sama seperti pada covektor dasar e i L j i e j displaystyle mathbf e i Lambda j i mathbf e j nbsp Terminologi ini bertentangan dengan yang digunakan dalam teori kategori karena covectors lah yang memiliki kemunduran secara umum dan dengan demikian menjadi kontravarian sedangkan vektor pada umumnya adalah kovarian karena dapat didorong ke depan Lihat pula Kovarian dan kontradiksi vektor Fungtor berlawanan SuntingSetiap functor F C D displaystyle F colon C to D nbsp menginduksi fungsi berlawanan F o p C o p D o p displaystyle F mathrm op colon C mathrm op to D mathrm op nbsp dimana C o p displaystyle C mathrm op nbsp dan D o p displaystyle D mathrm op nbsp adalah kategori berlawanan ke C displaystyle C nbsp dan D displaystyle D nbsp 6 Menurut definisi F o p displaystyle F mathrm op nbsp memetakan objek dan morfisme secara identik ke F displaystyle F nbsp Karena C o p displaystyle C mathrm op nbsp tidak sesuai dengan C displaystyle C nbsp sebagai kategori dan juga untuk D displaystyle D nbsp F o p displaystyle F mathrm op nbsp is dibedakan dari F displaystyle F nbsp Misalnya saat menulis F C 0 C 1 displaystyle F colon C 0 to C 1 nbsp with G C 1 o p C 2 displaystyle G colon C 1 mathrm op to C 2 nbsp seseorang harus menggunakan keduanya G F o p displaystyle G circ F mathrm op nbsp or G o p F displaystyle G mathrm op circ F nbsp Perhatikan bahwa mengikuti properti kategori berlawanan F o p o p F displaystyle F mathrm op mathrm op F nbsp Bifunctor dan multifunctor SuntingBifungtor juga dikenal sebagai fungtor biner adalah fungtor yang ranahnya adalah kategori produk Misalnya fungtor Hom adalah tipe Cop C Set Ini dapat dilihat sebagai fungtor dalam argumen dua Fungtor Hom adalah contoh alami itu bertentangan dalam satu argumen kovarian di argumen lain Multifungtor adalah generalisasi dari konsep fungtor ke variabel n Jadi misalnya bifungtor adalah multifungtor dengan n 2 Contoh SuntingDiagram Untuk kategori C dan J diagram tipe J dalam C adalah fungsi kovarian D J C displaystyle D colon J to C nbsp Pragemal teori kategori Untuk kategori C dan J a J presheaf pada C adalah fungsi kontravarian D C J displaystyle D colon C to J nbsp Pragemal Jika X adalah ruang topologi maka himpunan terbuka di X membentuk himpunan terurut parsial Open X di bawah penyertaan Seperti setiap himpunan yang diurutkan sebagian Open X membentuk kategori kecil dengan menambahkan satu panah U V jika dan hanya jika U V displaystyle U subseteq V nbsp Fungsional kontravarian pada Open X disebut pragemal pada X Misalnya dengan menetapkan ke setiap set terbuka U aljabar asosiatif dari fungsi kontinu bernilai nyata pada U salah satunya memperoleh pragemal dari aljabar di X Fungtor konstan Fungtor C D yang memetakan setiap objek C ke objek tetap X di D dan setiap morfisme di C ke morfisme identitas di X Functor seperti itu disebut functor konstan atau pilihan Endofungtor Fungtor yang memetakan kategori ke kategori yang sama misalnya fungsi polinomial Fungtor identitas dalam kategori C tertulis 1C atau idC memetakan objek ke dirinya sendiri dan morfisme ke dirinya sendiri Functor identitas adalah endofungtor Fungtor diagonal Fungtor diagonal didefinisikan sebagai functor dari D ke kategori fungtor DC yang mengirimkan setiap objek dalam D ke Functor konstan pada objek itu Limit fungsi Untuk tetap kategori indeks J jika semua functor J C memiliki limit misalnya jika C selesai maka fungsi limit CJ C menetapkan batasnya ke setiap fungtor Keberadaan fungtor ini dapat dibuktikan dengan menyadari bahwa ini adalah adjoin kanan ke diagonal fungtor dan menjalankan teorema fungtor adjoin Freyd Ini membutuhkan versi yang sesuai dari aksioma pilihan Komentar serupa berlaku untuk fungotor kolimit yang menetapkan kolom ke setiap functor dan merupakan kovarian Himpunan daya Himpunan fungtor daya P Set Set memetakan setiap himpunan ke himpunan daya dan setiap fungsinya f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp ke peta order U P X displaystyle U in mathcal P X nbsp ke citranya f U P Y displaystyle f U in mathcal P Y nbsp Salah satunya juga dapat mempertimbangkan fungtor himpunan daya kontravarian order f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp ke peta yang mengirim V Y displaystyle V subseteq Y nbsp ke citra balikannya f 1 V X displaystyle f 1 V subseteq X nbsp Kaitannya dengan konsep kategoris lainnya SuntingMisalkanCdanDmenjadi kategori Kumpulan semua fungsi dariC hingga D membentuk objek dari kategori kategori fungtor Morfisme dalam kategori ini adalah transformasi alami antara fungsi Functor sering didefinisikan oleh sifat universal contohnya adalah produk tensor jumlah langsung dan produk langsung dari grup atau ruang vektor konstruksi grup dan modul bebas limit langsung dan invers Konsep limit dan kolimit merampat beberapa hal di atas Konstruksi semesta sering kali memunculkan pasangan Implementasi komputer SuntingFunctor terkadang muncul di pemrograman fungsional Misalnya bahasa pemrograman Haskell memiliki kelas Functor where fmap adalah fungsi politik yang digunakan untuk memetakan fungsi morfisme padaHask kategori tipe Haskell 7 di antara tipe tipe yang ada untuk fungsi di antara suatu tipe tipe baru 8 Lihat pula Sunting nbsp Portal Matematika Kategori Fungtor Ekstensi Kan PseudofungtorCatatan Sunting Mac Lane Saunders 1971 Categories for the Working Mathematician New York Springer Verlag hlm 30 ISBN 978 3 540 90035 1 Carnap Rudolf 1937 The Logical Syntax of Language Routledge amp Kegan pp 13 14 Jacobson 2009 p 19 def 1 2 Jacobson 2009 hlm 19 20 Popescu Nicolae Popescu Liliana 1979 Theory of categories Dordrecht Springer hlm 12 ISBN 9789400995505 Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023 07 26 Diakses tanggal 23 April 2016 Mac Lane Saunders Moerdijk Ieke 1992 Sheaves in geometry and logic a first introduction to topos theory Springer ISBN 978 0 387 97710 2 Tidak sepenuhnya jelas bahwa tipe data Haskell benar benar membentuk sebuah kategori Lihat https wiki haskell org Hask Diarsipkan 2023 07 17 di Wayback Machine for more details See https wiki haskell org Category theory Functor Functors in Haskell Diarsipkan 2023 02 06 di Wayback Machine for more information Referensi SuntingJacobson Nathan 2009 Basic algebra 2 edisi ke 2nd Dover ISBN 978 0 486 47187 7 Pranala luar Sunting nbsp Lihat informasi mengenai functor di Wiktionary Hazewinkel Michiel ed 2001 1994 Functor Encyclopedia of Mathematics Springer Science Business Media B V Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1 55608 010 4 see functor di nLab and the variations discussed and linked to there Andre Joyal CatLab Diarsipkan 2023 07 26 di Wayback Machine a wiki project dedicated to the exposition of categorical mathematics Hillman Chris A Categorical Primer CiteSeerX 10 1 1 24 3264 nbsp Tidak memiliki atau membutuhkan url bantuan formal introduction to category theory J Adamek H Herrlich G Stecker Abstract and Concrete Categories The Joy of Cats Diarsipkan 2015 04 21 di Wayback Machine Stanford Encyclopedia of Philosophy Category Theory Diarsipkan 2021 11 21 di Wayback Machine by Jean Pierre Marquis Extensive bibliography List of academic conferences on category theory Diarsipkan 2023 02 07 di Wayback Machine Baez John 1996 The Tale of n categories Diarsipkan 2023 06 04 di Wayback Machine An informal introduction to higher order categories WildCats Diarsipkan 2021 01 01 di Wayback Machine is a category theory package for Mathematica Manipulation and visualization of objects morphisms categories functors natural transformations universal properties The catsters Diarsipkan 2023 05 22 di Wayback Machine a YouTube channel about category theory Category Theory PlanetMath org Video archive Diarsipkan 2012 07 27 di Wayback Machine of recorded talks relevant to categories logic and the foundations of physics Interactive Web page which generates examples of categorical constructions in the category of finite sets Templat Teori kategori Templat Functors Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Fungtor amp oldid 23907766