Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Invers trigonometric functions di en wikipedia org Isinya masih belum akurat karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan Jika Anda menguasai bahasa aslinya harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat Lihat pula panduan penerjemahan artikel Fungsi invers trigonometri adalah fungsi invers suatu fungsi trigonometri dengan domain yang terbatas Dengan kata lain fungsi invers trigonometri adalah fungsi invers suatu fungsi sinus kosinus tangen kotangen sekan dan kosekan dan digunakan untuk mencari suatu sudut dari rasio trigonometri sudut yang lain Fungsi invers trigonometri deretng digunakan di bidang teknik navigasi fisika dan geometri Daftar isi 1 Dalam kalkulus 1 1 Turunan dari fungsi invers trigonometri 1 2 Ekspresi sebagai integral pasti 1 3 Deret tak terbatas 1 3 1 Pecahan lanjutan untuk invers tangen 1 4 Integral tak tentu dari fungsi invers trigonometri 1 4 1 Contoh 2 Daftar 3 Hubungan antara fungsi trigonometri dengan fungsi invers trigonometri 4 Pranala luarDalam kalkulus SuntingTurunan dari fungsi invers trigonometri Sunting Artikel utama Diferensiasi fungsi trigonometriTurunan untuk nilai kompleks z adalah sebagai berikut d d z arcsin z 1 1 z 2 z 1 1 d d z arccos z 1 1 z 2 z 1 1 d d z arctan z 1 1 z 2 z i i d d z arccot z 1 1 z 2 z i i d d z arcsec z 1 z 2 1 1 z 2 z 1 0 1 d d z arccsc z 1 z 2 1 1 z 2 z 1 0 1 displaystyle begin aligned frac d dz arcsin z amp frac 1 sqrt 1 z 2 amp z amp neq 1 1 frac d dz arccos z amp frac 1 sqrt 1 z 2 amp z amp neq 1 1 frac d dz arctan z amp frac 1 1 z 2 amp z amp neq i i frac d dz operatorname arccot z amp frac 1 1 z 2 amp z amp neq i i frac d dz operatorname arcsec z amp frac 1 z 2 sqrt 1 frac 1 z 2 amp z amp neq 1 0 1 frac d dz operatorname arccsc z amp frac 1 z 2 sqrt 1 frac 1 z 2 amp z amp neq 1 0 1 end aligned nbsp Hanya untuk nilai riil x displaystyle x nbsp d d x arcsec x 1 x x 2 1 x gt 1 d d x arccsc x 1 x x 2 1 x gt 1 displaystyle begin aligned frac d dx operatorname arcsec x amp frac 1 x sqrt x 2 1 amp x gt 1 frac d dx operatorname arccsc x amp frac 1 x sqrt x 2 1 amp x gt 1 end aligned nbsp Untuk contoh turunannya bila 8 arcsin x displaystyle theta arcsin x nbsp kita mendapatkan d arcsin x d x d 8 d sin 8 d 8 cos 8 d 8 1 cos 8 1 1 sin 2 8 1 1 x 2 displaystyle frac d arcsin x dx frac d theta d sin theta frac d theta cos theta d theta frac 1 cos theta frac 1 sqrt 1 sin 2 theta frac 1 sqrt 1 x 2 nbsp Ekspresi sebagai integral pasti Sunting Mengintegrasikan turunan dan menetapkan nilai pada satu titik memberikan ekspresi untuk fungsi trigonometri terbalik sebagai integral pasti arcsin x 0 x 1 1 z 2 d z x 1 arccos x x 1 1 1 z 2 d z x 1 arctan x 0 x 1 z 2 1 d z arccot x x 1 z 2 1 d z arcsec x 1 x 1 z z 2 1 d z p x 1 1 z z 2 1 d z x 1 arccsc x x 1 z z 2 1 d z x 1 z z 2 1 d z x 1 displaystyle begin aligned arcsin x amp int 0 x frac 1 sqrt 1 z 2 dz amp x amp leq 1 arccos x amp int x 1 frac 1 sqrt 1 z 2 dz amp x amp leq 1 arctan x amp int 0 x frac 1 z 2 1 dz operatorname arccot x amp int x infty frac 1 z 2 1 dz operatorname arcsec x amp int 1 x frac 1 z sqrt z 2 1 dz pi int x 1 frac 1 z sqrt z 2 1 dz amp x amp geq 1 operatorname arccsc x amp int x infty frac 1 z sqrt z 2 1 dz int infty x frac 1 z sqrt z 2 1 dz amp x amp geq 1 end aligned nbsp Jika x displaystyle x nbsp sama dengan 1 integral dengan domain terbatas adalah integral tak tentu tetapi masih terdefinisi dengan baik Deret tak terbatas Sunting Mirip dengan fungsi sinus dan kosinus fungsi trigonometri terbalik juga dapat dihitung menggunakan deret pangkat sebagai berikut Untuk busur deret dapat diturunkan dengan memperluas turunannya 1 1 z 2 textstyle tfrac 1 sqrt 1 z 2 nbsp sebagai deret binomial dan mengintegrasikan istilah demi istilah menggunakan definisi integral seperti di atas Deret untuk arctangen juga bisa diturunkan dengan memperluas turunan 1 1 z 2 textstyle frac 1 1 z 2 nbsp dalam sebuah deret geometris dan menerapkan definisi integral di atas lihat deret Leibniz arcsin z z 1 2 z 3 3 1 3 2 4 z 5 5 1 3 5 2 4 6 z 7 7 n 0 2 n 1 2 n z 2 n 1 2 n 1 n 0 2 n 2 n n 2 z 2 n 1 2 n 1 z 1 displaystyle begin aligned arcsin z amp z left frac 1 2 right frac z 3 3 left frac 1 cdot 3 2 cdot 4 right frac z 5 5 left frac 1 cdot 3 cdot 5 2 cdot 4 cdot 6 right frac z 7 7 cdots 5pt amp sum n 0 infty frac 2n 1 2n frac z 2n 1 2n 1 5pt amp sum n 0 infty frac 2n 2 n n 2 frac z 2n 1 2n 1 qquad z leq 1 end aligned nbsp arctan z z z 3 3 z 5 5 z 7 7 n 0 1 n z 2 n 1 2 n 1 z 1 z i i displaystyle arctan z z frac z 3 3 frac z 5 5 frac z 7 7 cdots sum n 0 infty frac 1 n z 2n 1 2n 1 qquad z leq 1 qquad z neq i i nbsp Deret untuk fungsi trigonometri terbalik lainnya dapat diberikan dalam hal ini sesuai dengan hubungan yang diberikan di atas Sebagai contoh arccos x p 2 arcsin x displaystyle arccos x pi 2 arcsin x nbsp arccsc x arcsin 1 x displaystyle operatorname arccsc x arcsin 1 x nbsp dan seterusnya Deret lainnya diberikan oleh 1 2 arcsin x 2 2 n 1 x 2 n n 2 2 n n displaystyle 2 left arcsin left frac x 2 right right 2 sum n 1 infty frac x 2n n 2 binom 2n n nbsp Leonhard Euler menemukan deret untuk invers tangen yang menyatu lebih cepat daripada deret Taylor arctan z z 1 z 2 n 0 k 1 n 2 k z 2 2 k 1 1 z 2 displaystyle arctan z frac z 1 z 2 sum n 0 infty prod k 1 n frac 2kz 2 2k 1 1 z 2 nbsp 2 Suku dalam jumlah untuk n 0 adalah produk kosong jadi 1 Atau ini dapat dinyatakan sebagai arctan z n 0 2 2 n n 2 2 n 1 z 2 n 1 1 z 2 n 1 displaystyle arctan z sum n 0 infty frac 2 2n n 2 2n 1 frac z 2n 1 1 z 2 n 1 nbsp Deret lain untuk fungsi arctangent diberikan oleh arctan z i n 1 1 2 n 1 1 1 2 i z 2 n 1 1 1 2 i z 2 n 1 displaystyle arctan z i sum n 1 infty frac 1 2n 1 left frac 1 1 2i z 2n 1 frac 1 1 2i z 2n 1 right nbsp dimana i 1 displaystyle i sqrt 1 nbsp adalah bilangan imajiner butuh rujukan Pecahan lanjutan untuk invers tangen Sunting Dua alternatif dari deret pangkat untuk invers tangen adalah pecahan lanjutan umum berikut arctan z z 1 1 z 2 3 1 z 2 3 z 2 5 3 z 2 5 z 2 7 5 z 2 7 z 2 9 7 z 2 z 1 1 z 2 3 2 z 2 5 3 z 2 7 4 z 2 9 displaystyle arctan z frac z 1 cfrac 1z 2 3 1z 2 cfrac 3z 2 5 3z 2 cfrac 5z 2 7 5z 2 cfrac 7z 2 9 7z 2 ddots frac z 1 cfrac 1z 2 3 cfrac 2z 2 5 cfrac 3z 2 7 cfrac 4z 2 9 ddots nbsp Yang kedua ini berlaku di bidang kompleks potong Ada dua potongan dari i ke titik tak terhingga menuruni sumbu imajiner dan dari i ke titik tak terhingga menuju berfungsi paling baik untuk bilangan real yang berjalan dari 1 hingga 1 Penyebut parsial adalah bilangan asli ganjil dan pembilang parsial setelah yang pertama hanya nz 2 dengan setiap kotak sempurna muncul sekali Yang pertama dikembangkan oleh Leonhard Euler yang kedua oleh Carl Friedrich Gauss menggunakan deret hipergeometrik Gaussian Integral tak tentu dari fungsi invers trigonometri Sunting Untuk nilai nyata dan kompleks z arcsin z d z z arcsin z 1 z 2 C arccos z d z z arccos z 1 z 2 C arctan z d z z arctan z 1 2 ln 1 z 2 C arccot z d z z arccot z 1 2 ln 1 z 2 C arcsec z d z z arcsec z ln z 1 z 2 1 z 2 C arccsc z d z z arccsc z ln z 1 z 2 1 z 2 C displaystyle begin aligned int arcsin z dz amp z arcsin z sqrt 1 z 2 C int arccos z dz amp z arccos z sqrt 1 z 2 C int arctan z dz amp z arctan z frac 1 2 ln left 1 z 2 right C int operatorname arccot z dz amp z operatorname arccot z frac 1 2 ln left 1 z 2 right C int operatorname arcsec z dz amp z operatorname arcsec z ln left z left 1 sqrt frac z 2 1 z 2 right right C int operatorname arccsc z dz amp z operatorname arccsc z ln left z left 1 sqrt frac z 2 1 z 2 right right C end aligned nbsp untuk riil x 1 arcsec x d x x arcsec x ln x x 2 1 C arccsc x d x x arccsc x ln x x 2 1 C displaystyle begin aligned int operatorname arcsec x dx amp x operatorname arcsec x ln left x sqrt x 2 1 right C int operatorname arccsc x dx amp x operatorname arccsc x ln left x sqrt x 2 1 right C end aligned nbsp untuk semua riil x tidak antara 1 dan 1 arcsec x d x x arcsec x sgn x ln x x 2 1 C arccsc x d x x arccsc x sgn x ln x x 2 1 C displaystyle begin aligned int operatorname arcsec x dx amp x operatorname arcsec x operatorname sgn x ln left left x sqrt x 2 1 right right C int operatorname arccsc x dx amp x operatorname arccsc x operatorname sgn x ln left left x sqrt x 2 1 right right C end aligned nbsp Nilai mutlak diperlukan untuk mengimbangi nilai negatif dan positif dari fungsi arcsekan dan arckosekan Fungsi signum juga diperlukan karena nilai mutlak dalam turunan dari kedua fungsi tersebut yang membuat dua solusi berbeda untuk nilai positif dan negatif x Ini dapat disederhanakan lebih lanjut menggunakan definisi logaritmik dari fungsi hiperbolik invers arcsec x d x x arcsec x arcosh x C arccsc x d x x arccsc x arcosh x C displaystyle begin aligned int operatorname arcsec x dx amp x operatorname arcsec x operatorname arcosh x C int operatorname arccsc x dx amp x operatorname arccsc x operatorname arcosh x C end aligned nbsp Nilai mutlak dalam argumen fungsi arcosh menciptakan setengah negatif grafiknya membuatnya identik dengan fungsi logaritmik signum yang ditunjukkan di atas Semua antiturunan ini dapat diturunkan menggunakan integrasi oleh bagian dan bentuk turunan sederhana yang ditunjukkan di atas Contoh Sunting Menggunakan u d v u v v d u displaystyle int u dv uv int v du nbsp yaitu integrasi oleh bagian u arcsin x d v d x d u d x 1 x 2 v x displaystyle begin aligned u amp arcsin x amp dv amp dx du amp frac dx sqrt 1 x 2 amp v amp x end aligned nbsp Kemudian arcsin x d x x arcsin x x 1 x 2 d x displaystyle int arcsin x dx x arcsin x int frac x sqrt 1 x 2 dx nbsp yang dengan sederhana substitusi w 1 x 2 d w 2 x d x displaystyle w 1 x 2 dw 2x dx nbsp menghasilkan hasil akhir arcsin x d x x arcsin x 1 x 2 C displaystyle int arcsin x dx x arcsin x sqrt 1 x 2 C nbsp Daftar SuntingNama Notasi Definisi Domain x untuk bilangan riil Kisaran radian Kisaran derajat sinus invers y arcsin x x sin y 1 x 1 p 2 y p 2 90 y 90 kosinus invers y arccos x x cos y 1 x 1 0 y p 0 y 180 tangen invers y arctan x x tan y x p 2 lt y lt p 2 90 lt y lt 90 kotangen invers y arccot x x cot y x 0 lt y lt p 0 lt y lt 180 sekan invers y arcsec x x sec y x 1 atau x 1 0 y p y p 2 0 y 180 y 90 kosekan invers y arccsc x x csc y x 1 atau x 1 p 2 y p 2 y 0 90 y 90 y 0 Hubungan antara fungsi trigonometri dengan fungsi invers trigonometri Sunting8 displaystyle theta nbsp sin 8 displaystyle sin theta nbsp cos 8 displaystyle cos theta nbsp tan 8 displaystyle tan theta nbsp Diagramarcsin x displaystyle arcsin x nbsp sin arcsin x x displaystyle sin arcsin x x nbsp cos arcsin x 1 x 2 displaystyle cos arcsin x sqrt 1 x 2 nbsp tan arcsin x x 1 x 2 displaystyle tan arcsin x frac x sqrt 1 x 2 nbsp nbsp arccos x displaystyle arccos x nbsp sin arccos x 1 x 2 displaystyle sin arccos x sqrt 1 x 2 nbsp cos arccos x x displaystyle cos arccos x x nbsp tan arccos x 1 x 2 x displaystyle tan arccos x frac sqrt 1 x 2 x nbsp nbsp arctan x displaystyle arctan x nbsp sin arctan x x 1 x 2 displaystyle sin arctan x frac x sqrt 1 x 2 nbsp cos arctan x 1 1 x 2 displaystyle cos arctan x frac 1 sqrt 1 x 2 nbsp tan arctan x x displaystyle tan arctan x x nbsp nbsp arccsc x displaystyle operatorname arccsc x nbsp sin arccsc x 1 x displaystyle sin operatorname arccsc x frac 1 x nbsp cos arccsc x x 2 1 x displaystyle cos operatorname arccsc x frac sqrt x 2 1 x nbsp tan arccsc x 1 x 2 1 displaystyle tan operatorname arccsc x frac 1 sqrt x 2 1 nbsp nbsp arcsec x displaystyle operatorname arcsec x nbsp sin arcsec x x 2 1 x displaystyle sin operatorname arcsec x frac sqrt x 2 1 x nbsp cos arcsec x 1 x displaystyle cos operatorname arcsec x frac 1 x nbsp tan arcsec x x 2 1 displaystyle tan operatorname arcsec x sqrt x 2 1 nbsp nbsp arccot x displaystyle operatorname arccot x nbsp sin arccot x 1 1 x 2 displaystyle sin operatorname arccot x frac 1 sqrt 1 x 2 nbsp cos arccot x x 1 x 2 displaystyle cos operatorname arccot x frac x sqrt 1 x 2 nbsp tan arccot x 1 x displaystyle tan operatorname arccot x frac 1 x nbsp nbsp Pranala luar Sunting Inggris Weisstein Eric W Inverse Trigonometric Functions MathWorld Inggris Weisstein Eric W Inverse Tangent MathWorld Kesalahan pengutipan Tag lt ref gt tidak sah tidak ditemukan teks untuk ref bernama Borwein 2004 Hwang Chien Lih 2005 Derivasi dasar deret Euler untuk fungsi arktangen The Mathematical Gazette 89 516 469 470 doi 10 1017 S0025557200178404 Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Fungsi invers trigonometri amp oldid 22567559
