www.wikidata.id-id.nina.az

Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil Dalam matematika khususnya di bidang teori bilangan dan ilmu komputer suatu

Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil

Dalam matematika, khususnya di bidang teori bilangan dan ilmu komputer, suatu fungsi dikatakan fungsi atap (ceiling function), dinotasikan oleh , adalah fungsi yang memetakan bilangan real ke bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan . Sebagai contoh, nilai dari . Fungsi atap juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terkecil.

Grafik mengenai fungsi bilangan bulat terbesar
Grafik mengenai fungsi bilangan bulat terkecil
Grafik mengenai fungsi bagian bilangan bulat.

Sebaliknya, suatu fungsi dikatakan fungsi lantai (floor function), dinotasikan oleh , adalah fungsi yang memetakan bilangan real ke bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada atau sama dengan . Sebagai contoh, nilai dari . Fungsi lantai juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terbesar.

Galibnya, definisi pada fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil dapat ditulis sebagai

Hubungan kedua fungsi di atas dapat diterapkan pada salah satu fungsi berikut, yaitu bagian bilangan bulat (bahasa Inggris: integer part), di mana bilangan real yang dipetakan ke fungsi tersebut sehingga menjadi bilangan bulat yang muncul sebelum bilangan desimal, dilambangkan atau terkadang dinotasikan sebagai dan dirumuskan sebagai

Untuk memahami lebih lanjut, tinjau yang bernilai , maka . Hal yang serupa dengan bilangan bertandakan negatif, contohnya sederhananya, .

Sejarah sunting

Sifat dan identitas sunting

Beberapa sifat yang terkandung dalam fungsi bilangan bulat besar dan fungsi bilangan bulat terkecil adalah sebagai berikut:

  • untuk suatu bilangan real.
  • dan jika dan hanya jika adalah bilangan bulat.
  • jika adalah bilangan real dan bila bilangan bulat.
  • Untuk suatu bilangan bulat, .

Untuk sifat fungsi bagian bilangan bulat, antara lain

Beberapa penulis mendefinisikan bagian bulat sebagai fungsi bilangan bulat terbesar, menggunakan notasi berikut:

  • untuk adalah bilangan bulat.

Kalkulus sunting

Turunan sunting

Turunan fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil tidak terdiferensialkan bila adalah bilangan bulat. Bila bukanlah bilangan bulat, maka turunannya terdiferensialkan di mana-mana, yakni bernilai 0.

Integral sunting

Dalam integral, fungsi bilangan bulat terbesar dapat dinyatakan sebagai

  • .

Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil,

  • .

Representasi deret sunting

Dalam representasi deret, fungsi bilangan bulat terbesar dirumuskan sebagai berikut:

  • Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan

asalkan bilangan real dan bukan bilangan bulat.

Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil.

  • Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan

asalkan bilangan real dan bukan bilangan bulat.

Rujukan sunting

  1. ^ Sukardi, mathcyber1997.com: Materi, Soal, dan Pembahasan - Fungsi Lantai dan Fungsi Atap. Diakses pada 5 Agustus 2023.
  2. ^ Gatot Muhsetyo (2019). Matematika Diskrit. Tanggerang Selatan: Universitas Terbuka. ISBN 9786023924127. dari versi asli tanggal 2023-06-02. Diakses tanggal 2023-05-22. 
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Integer Part". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). dari versi asli tanggal 2023-06-23. Diakses tanggal 2021-11-17. 
  4. "integer part". planetmath.org. dari versi asli tanggal 2021-05-06. Diakses tanggal 2021-11-16. 
  5. . www.bookofproofs.org. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-11-16. Diakses tanggal 2021-11-16. 
  6. Luke Heaton, A Brief History of Mathematical Thought, 2015, ISBN 1472117158 (n.p.)
  7. Albert A. Blank et al., Calculus: Differential Calculus, 1968, hlm. 259
  8. John W. Warris, Horst Stocker, Handbook of mathematics and computational science, 1998, ISBN 0387947469, hlm. 151
  9. "Differentiable". www.mathsisfun.com. dari versi asli tanggal 2023-03-09. Diakses tanggal 2021-11-24. 
  10. "Floor function: Integration (subsection 21/01/01)". functions.wolfram.com. dari versi asli tanggal 2019-09-13. Diakses tanggal 2021-11-24. 
  11. "Ceiling function: Integration (subsection 21/01/01)". functions.wolfram.com. dari versi asli tanggal 2021-11-24. Diakses tanggal 2021-11-24. 
  12. "Floor function: Series representations (subsection 06/01)". functions.wolfram.com. dari versi asli tanggal 2021-11-26. Diakses tanggal 2021-11-26. 
  13. "Ceiling function: Series representations". functions.wolfram.com. dari versi asli tanggal 2021-11-24. Diakses tanggal 2021-11-26. 
wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam matematika khususnya di bidang teori bilangan dan ilmu komputer suatu fungsi f displaystyle f dikatakan fungsi atap ceiling function dinotasikan oleh f x x ceil x displaystyle f x lceil x rceil text ceil x adalah fungsi yang memetakan bilangan real x displaystyle x ke bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan x displaystyle x 1 Sebagai contoh nilai dari 0 8 1 displaystyle lceil 0 8 rceil 1 Fungsi atap juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terkecil 2 Grafik mengenai fungsi bilangan bulat terbesar Grafik mengenai fungsi bilangan bulat terkecil Grafik mengenai fungsi bagian bilangan bulat Sebaliknya suatu fungsi f displaystyle f dikatakan fungsi lantai floor function dinotasikan oleh f x x floor x displaystyle f x lfloor x rfloor text floor x adalah fungsi yang memetakan bilangan real x displaystyle x ke bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada atau sama dengan x displaystyle x 1 Sebagai contoh nilai dari 3 14 3 displaystyle lfloor 3 14 rfloor 3 Fungsi lantai juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terbesar 2 Galibnya definisi pada fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil dapat ditulis sebagai x max n Z n x displaystyle lfloor x rfloor max n in mathbb Z mid n leq x dan x min n Z n x displaystyle lceil x rceil min n in mathbb Z mid n geq x 1 Hubungan kedua fungsi di atas dapat diterapkan pada salah satu fungsi berikut yaitu bagian bilangan bulat bahasa Inggris integer part di mana bilangan real yang dipetakan ke fungsi tersebut sehingga menjadi bilangan bulat yang muncul sebelum bilangan desimal dilambangkan x displaystyle x atau terkadang dinotasikan sebagai int x displaystyle operatorname int x 3 dan dirumuskan sebagai 3 4 x x jika x 0 x jika x lt 0 displaystyle x begin cases lfloor x rfloor amp text jika x geq 0 lceil x rceil amp text jika x lt 0 end cases Untuk memahami lebih lanjut tinjau p displaystyle pi yang bernilai 3 1415926 displaystyle 3 1415926 dots maka p 3 displaystyle pi 3 Hal yang serupa dengan bilangan bertandakan negatif contohnya sederhananya 1 2 0 textstyle left frac 1 2 right 0 Daftar isi 1 Sejarah 2 Sifat dan identitas 3 Kalkulus 3 1 Turunan 3 2 Integral 4 Representasi deret 5 RujukanSejarah suntingBagian ini kosong Anda bisa membantu dengan melengkapinya Sifat dan identitas suntingBeberapa sifat yang terkandung dalam fungsi bilangan bulat besar dan fungsi bilangan bulat terkecil adalah sebagai berikut 5 x x x displaystyle lfloor x rfloor leq x leq lceil x rceil nbsp untuk suatu x displaystyle x nbsp bilangan real x x displaystyle lfloor x rfloor x nbsp dan x x displaystyle lceil x rceil x nbsp jika dan hanya jika x displaystyle x nbsp adalah bilangan bulat x x 1 displaystyle lceil x rceil lfloor x rfloor 1 nbsp jika x displaystyle x nbsp adalah bilangan real dan 0 displaystyle 0 nbsp bila x displaystyle x nbsp bilangan bulat Untuk suatu n displaystyle n nbsp bilangan bulat x n x n displaystyle lfloor x n rfloor lfloor x rfloor n nbsp Untuk sifat fungsi bagian bilangan bulat antara lain x x displaystyle x x nbsp Beberapa penulis mendefinisikan bagian bulat sebagai fungsi bilangan bulat terbesar menggunakan notasi berikut 6 7 8 x x x displaystyle lfloor x rfloor lceil x rceil x nbsp untuk x displaystyle x nbsp adalah bilangan bulat Kalkulus suntingTurunan sunting Turunan fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil tidak terdiferensialkan bila x displaystyle x nbsp adalah bilangan bulat Bila x displaystyle x nbsp bukanlah bilangan bulat maka turunannya terdiferensialkan di mana mana 9 yakni bernilai 0 Integral sunting Dalam integral fungsi bilangan bulat terbesar dapat dinyatakan sebagai x d x x x displaystyle int lfloor x rfloor mathrm d x x lfloor x rfloor nbsp 10 Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil x d x x x displaystyle int lceil x rceil mathrm d x x lceil x rceil nbsp 11 Representasi deret suntingDalam representasi deret fungsi bilangan bulat terbesar dirumuskan sebagai berikut Dalam bentuk deret Fourier dirumuskan x x 1 2 1 p k 1 sin 2 p k x k displaystyle lfloor x rfloor x frac 1 2 frac 1 pi sum k 1 infty frac sin 2 pi kx k nbsp asalkan x displaystyle x nbsp bilangan real dan bukan bilangan bulat 12 Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil Dalam bentuk deret Fourier dirumuskan x x 1 2 1 p k 1 sin 2 p k x k displaystyle lceil x rceil x frac 1 2 frac 1 pi sum k 1 infty frac sin 2 pi kx k nbsp asalkan x displaystyle x nbsp bilangan real dan bukan bilangan bulat 13 Rujukan sunting a b c Sukardi mathcyber1997 com Materi Soal dan Pembahasan Fungsi Lantai dan Fungsi Atap Diakses pada 5 Agustus 2023 a b Gatot Muhsetyo 2019 Matematika Diskrit Tanggerang Selatan Universitas Terbuka ISBN 9786023924127 Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023 06 02 Diakses tanggal 2023 05 22 Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan a b Weisstein Eric W Integer Part mathworld wolfram com dalam bahasa Inggris Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023 06 23 Diakses tanggal 2021 11 17 integer part planetmath org Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021 05 06 Diakses tanggal 2021 11 16 Properties of Floors and Ceilings www bookofproofs org Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021 11 16 Diakses tanggal 2021 11 16 Luke Heaton A Brief History of Mathematical Thought 2015 ISBN 1472117158 n p Albert A Blank et al Calculus Differential Calculus 1968 hlm 259 John W Warris Horst Stocker Handbook of mathematics and computational science 1998 ISBN 0387947469 hlm 151 Differentiable www mathsisfun com Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023 03 09 Diakses tanggal 2021 11 24 Floor function Integration subsection 21 01 01 functions wolfram com Diarsipkan dari versi asli tanggal 2019 09 13 Diakses tanggal 2021 11 24 Ceiling function Integration subsection 21 01 01 functions wolfram com Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021 11 24 Diakses tanggal 2021 11 24 Floor function Series representations subsection 06 01 functions wolfram com Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021 11 26 Diakses tanggal 2021 11 26 Ceiling function Series representations functions wolfram com Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021 11 24 Diakses tanggal 2021 11 26 Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil amp oldid 23961630