www.wikidata.id-id.nina.az

Distribusi Maxwell Boltzmann Dalam fisika khususnya mekanika statistik distribusi Maxwell Boltzmann yang menggambarkan k

Distribusi Maxwell-Boltzmann

Dalam fisika, khususnya mekanika statistik, distribusi Maxwell-Boltzmann yang menggambarkan kecepatan partikel dalam gas, di mana partikel bergerak bebas antara tumbukan kecil, tetapi tidak berinteraksi satu sama lain, sebagai fungsi suhu dari sistem, massa partikel, dan kecepatan partikel. Partikel dalam konteks ini mengacu pada atom atau molekul dari gas. Tidak ada perbedaan antara keduanya dalam perkembangan dan hasilnya

Maxwell–Boltzmann
Fungsi kepekatan probabilitas
Fungsi distribusi kumulatif
Parameter
Dukungan
PDF
CDF di mana erf adalah fungsi galat
Mean
Modus
Variance
Skewness
Ex. kurtosis
Entropi

Ini merupakan distribusi probabilitas untuk kecepatan sebuah partikel yang berwujud gas - Besaran dari vektor kecepatan, yang berarti pada suhu tertentu, partikel akan memiliki kecepatan yang dipilih secara acak dari distribusi, tapi lebih cenderung berada dalam satu rentang dari beberapa kecepatan yang lain

Distribusi Maxwell-Boltzmann berlaku untuk gas ideal di dalam kesetimbangan termodinamika dengan efek kuantum yang dapat diabaikan dan di kecepatan non-relativistik. Ini membentuk dasar dari teori kinetik gas, yang memberikan penjelasan sederhana dari banyak sifat gas fundamental, termasuk tekanan dan difusi Namun ada perluasan untuk kecepatan relativistik, lihat distribusi Maxwell-Juttner di bawah ini.

Distribusi ini dinamai dari nama James Clerk Maxwell dan Ludwig Boltzmann.

Aplikasi Fisik sunting

Biasanya distribusi Maxwell-Boltzmann mengacu pada kecepatan molekul, tetapi juga berlaku untuk distribusi momentum dan energi dari molekul.

Untuk jumlah vektor 3-dimensi, komponennya diperlakukan independen dan terdistribusi normal dengan rata-rata sama dengan 0 dan standar deviasi dari a . jika Xi didistribusikan sebagai , maka

disebut sebagai distribusi Maxwell-Boltzmann dengan parameter a . Terlepas dari skala parameter a , distribusi identik dengan distribusi chi yang memiliki 3 derajat kebebasan.

Distribusi (dalam berbagai bentuk) sunting

Turunan asli oleh Maxwell diasumsikan bahwa ketiga arah akan memikiki perilaku yang sama, tetapi turunan selanjutnya yang dikembangkan oleh Boltzmann mematahkan asumsi ini dengan teori kinetik. Distribusi Maxwell-Boltzmann (untuk energi) sebagian besar dapat langsung diturunkan dari distribusi Boltzmann untuk energi (lihat juga statistik Maxwell-Boltzmann dari mekanika statistik):

dimana:

  • i adalah microstate (menunjukkan satu konfigurasi partikel dalam keadaan kuantum - lihat fungsi partisi).
  • Ei adalah tingkat energi dari microstate i.
  • T adalah temperatur kesetimbangan sistem.
  • gi adalah faktor degenerasi, atau jumlah dari microstates yang mengalami degenerasi yang memiliki tingkat energi yang sama
  • k adalah konstanta Boltzmann.
  • Ni adalah jumlah molekul pada suhu kesetimbangan T, dalam keadaan i yang memiliki energi E i dan degenerasi gi.
  • N adalah jumlah total molekul dalam sistem.

Ingat bahwa kadang-kadang persamaan di atas ditulis tanpa faktor degenerasi gi. Dalam hal ini i akan menentukan keadaan masing-masing, bukan satu set keadaan gi yang memiliki energi Ei yang sama. Karena vektor kecepatan dan kecepatan berkaitan dengan energi, maka persamaan 1 dapat digunakan untuk menurunkan hubungan antara suhu dan kecepatan molekul dalam gas. Penyebut dalam persamaan ini dikenal sebagai fungsi partisi kanonik.

Distribusi untuk vektor momentum sunting

Berikut ini adalah turunan yang berbeda dari turunan yang dijelaskan oleh James Clerk Maxwell dan kemudian digambarkan dengan sedikit asumsi berdasarkan Ludwig Boltzmann. Sebaliknya turunan ini mirip dengan pendekatan Boltzmann pada tahun 1877.

Untuk kasus sebuah "gas ideal" yang terdiri dari atom- atom yang tidak berinteraksi pada keadaan dasar, semua energinya berada dalam bentuk energi kinetik, dan gi konstan untuk semua i. Hubungan antara energi kinetik dan momentum untuk partikel yang besar adalah

dimana p2 adalah kuadrat dari vektor momentum p = [px, py, pz]. Dengan demikian persamaan 1 dapat ditulis sebagai:

dimanaZ adalah fungsi partisi, sesuai dengan penyebut pada persamaan 1. Dalam persamaan ini m adalah massa molekul gas,T adalah suhu termodinamika dank adalah konstanta Boltzmann. Distribusi Ni/N sebanding terhadap fungsi probabbilitas densitas fp untuk menemukan molekul dengan nilai-nilai komponen momentum ini, maka:

Konstanta normalisasi c, dapat ditentukan dengan melihat kemungkinan bahwa sebuah molekul pasti memiliki nilai momentum 1. Oleh karena itu integral dari persamaan 4 untuk px ,py, dan pz harus 1.

Dapat ditunjukkan bahwa:

Mengganti Persamaan 5 ke persamaan 4 menghasilkan:

Distribusi ini adalah produk dari tiga variabel independen yang terdistribusi normal , , dan , dengan variansi . Selain itu, dapat dilihat bahwa besarnya momentum akan didistribusikan sebagai distribusi Maxwell-Boltzmann, dengan . Distribusi Maxwell-Boltzmann untuk momentum (atau sama untuk vektor kecepatan) dapat diperoleh lebih mendasar menggunakan teorema-H pada kesetimbangan dalam kerangka teori kinetik.

Distribusi Energi sunting

Menggunakan p² = 2mE, dan fungsi distribusi untuk besaran momentum (lihat di bawah), kita mendapatkan persamaan distribusi energi:

Karena energi yang sebanding dengan jumlah kuadrat dari tiga komponen momentum yang terdistribusi normal, distribusi ini adalah distribusi gamma dan distribusi chi-kuadrat dengan tiga derajat kebebasan.

Pada teorema equipartisi, energi ini dibagi rata di antara ketiga derajat kebebasan, sehingga energi per derajat kebebasan yang didistribusikan sebagai distribusi chi-kuadrat memiliki satu derajat kebebasan:

dimana adalah energi per derajat kebebasan. Pada kesetimbangan, distribusi ini akan berlaku untuk sejumlah derajat kebebasan. Misalnya, jika partikelnya merupakan dipol massa yang kaku, partikel tersebut akan memiliki tiga derajat kebebasan translasi dan dua derajat kebebasan rotasi tambahan. Energi dari setiap derajat kebebasan akan dijelaskan sesuai dengan distribusi chi-kuadrat dengan satu derajat kebebasan, dan total energi akan didistribusikan menurut distribusi chi-kuadrat dengan lima derajat kebebasan. Hal ini memiliki implikasi pada teori specific heat gas.

Distribusi Maxwell-Boltzmann juga dapat diperoleh dengan menganggap gas menjadi jenis gas kuantum.

Distribusi dari vektor kecepatan sunting

Mengetahui bahwa densitas probabilitas vektor kecepatan fv sebanding dengan fungsi densitas probabilitas momentum oleh

dengan menggunakan p = mv maka kita mendapatkan

yang merupakan distribusi vektor kecepatan Maxwell-Boltzmann. Probabilitas untuk menemukan partikel dengan vektor kecepatan dalam elemen yang sangat kecil [dvx, dvy, dvz] dengan vektor kecepatan v = [vx, vy, vz] adalah

Seperti momentum, distribusi ini dipandang sebagai produk dari tiga variabel independen terdistribusi normal yaitu , , and , namun dengan variansi . Hal ini dapat juga menunjukkan bahwa distribusi vektor kecepatan Maxwell-Boltzmann untuk vektor kecepatan [vx, vy, vz] adalah produk dari distribusi untuk masing-masing arah:

dimana distribusi untuk satu arah adalah

Setiap komponen dari vektor kecepatan memiliki distribusi normal dengan rata-rata dan standar deviasi , sehingga vektor memiliki distribusi normal 3-dimensi, disebut juga distribusi "multinormal", dengan rata-rata dan standar deviasi .

Distribusi kecepatan sunting

Fungsi kecepatan kepadatan probabilitas kecepatan beberapa gas mulia es pada suhu 298,15 K (25 ° C). Dimana y-axis adalah dalam s / m sehingga daerah di bawah setiap bagian dari kurva (yang merupakan probabilitas dari kecepatan berada di kisaran itu) adalah tidak berdimensi.

Biasanya, kita lebih tertarik pada kecepatan molekul daripada vektor kecepatan komponennya. Distribusi Maxwell-Boltzmann untuk kecepatan diambil dari distribusi vektor kecepatan, di atas. Perhatikan bahwa kecepatan adalah

dan kenaikan volumenya sebesar

dimana dan adalah "arah" (azimut dari vector kecepatan) dan "path angle" (elevasi sudut dari vektor kecepatan). Integrasi vektor kecepatan dari fungsi densitas probabilitas normal di atas, selama berada di arah (dari 0 hingga ) dan path angle (dari 0 hingga ),dengan substitusi kecepatan untuk jumlah kuadrat komponen vektor, menghasilkan fungsi densitas probabilitas

untuk kecepatan. Persamaannya menjadi Maxwell distribution dengan parameter distribusi .

Kita sering kali lebih tertarik dalam jumlah seperti kecepatan rata-rata partikel daripada distribusi sebenarnya. Kecepatan rata-rata, kecepatan yang paling mungkin (mode), dan akar kuadrat rata-rata dapat diperoleh dari sifat distribusi Maxwell.

Distribusi untuk kecepatan relatif sunting

Kecepatan relatif diartikan sebagai , dimana adalah kecepatan yang paling mungkin. Distribusi kecepatan relatif memungkinkan perbandingan gas yang berbeda, bergantung pada suhu dan berat molekul.

Typical speeds sunting

Walaupun persamaan di atas memberikan distribusi untuk kecepatan atau, dengan kata lain, sebagian kecil waktu dari molekul yang memiliki kecepatan tertentu, kita sering kali lebih tertarik pada jumlah seperti kecepatan rata-rata daripada distribusi keseluruhan.

Kecepatan yang paling mungkin, vp, adalah kecepatan yang paling mungkin dimiliki oleh setiap molekul (dengan massa yang sama m ) dalam sistem dan sesuai dengan nilai maksimum atau mode dari f(v). Untuk menemukannya, kita menghitung df/dv, mengubahnya ke nol dan mencari nilai untuk v

sehingga dihasilkan:

Dimana R adalah konstanta gas dan M = NA m adalah massa molar dari molekul.

Untuk nitrogen diatomik (N2, komponen utama dari udara) pada suhu kamar (300 K), hal ini menghasilkan 

m/s

Kecepatan rata-rata adalah rata-rata matematika dari distribusi kecepatan

Akar kuadrat rata-rata dari kecepatan, vrms adalah akar kuadrat dari kecepatan kuadrat rata-rata:

Typical speeds dihubungkan sebagai berikut:

Distribusi kecepatan relativistik sunting

Distribusi kecepatan Maxwell–Juttner (Relativistik Maxwellian)untuk gas elektron pada temperatur yang berbeda

Ketika suhu gas meningkat dan kT mendekati atau melewati mc2, distribusi probabilitas untuk dalam relativistik Maxwellian untuk gas dinyatakan dengan distribusi Maxwell–Juttner:

dimana dan adalah fungsi Bessel dari jenis kedua yang dimodifikasi.

Alternatif lainnya dapat juga ditulis dalam bentuk momentum sebagai berikut:

dimana . Persamaan Maxwell-Juttner adalah kovarian, tetapi tidak dapat dibuktikan, dan temperatur gas tidak bervariasi dengan kecepatan total gas.

Lihat pula sunting

Referensi sunting

  1. (2nd Edition), F. Mandl, Manchester Fisika, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 9-780471-91533
  2. University Physics – With Modern Physics (12th Edition), H.D. Young, R.A. Freedman (Original edition), Addison-Wesley (Pearson International), 1st Edition: 1949, 12th Edition: 2008, ISBN (10-) 0-321-50130-6, ISBN (13-) 978-0-321-50130-1
  3. Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
  4. McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3
  5. Statistical Physics (2nd Edition), F. Mandl, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 9-780471-91533
  6. Laurendeau, Normand M. (2005). Statistical thermodynamics: fundamentals and applications. Cambridge University Press. hlm. 434. ISBN 0-521-84635-8. , Appendix N, page 434
  7. Synge, J.L (1957). The Relativistic Gas. Series in physics. North-Holland. LCCN 57-003567. 
  8. Chacon-Acosta, Guillermo; Dagdug, Leonardo; Morales-Tecotl, Hugo A. (2009). "On the Manifestly Covariant Juttner Distribution and Equipartition Theorem". arXiv:0910.1625v1. Diakses tanggal 2011-10-22. 

Bacaan lebih lanjut sunting

  • Physics for Scientists and Engineers – with Modern Physics (6th Edition), P. A. Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, ISBN 0-7167-8964-7
  • Thermodynamics, From Concepts to Applications (2nd Edition), A. Shavit, C. Gutfinger, CRC Press (Taylor and Francis Group, USA), 2009, ISBN 978-1-4200-7368-3
  • Chemical Thermodynamics, D.J.G. Ives, University Chemistry, Macdonald Technical and Scientific, 1971, ISBN 0-356-03736-3
  • Elements of Statistical Thermodynamics (2nd Edition), L.K. Nash, Principles of Chemistry, Addison-Wesley, 1974, ISBN 0-201-05229-6
  • Ward, CA & Fang, G 1999, 'Expression for predicting liquid evaporation flux: Statistical rate theory approach', Physical Review E, vol. 59, no. 1, pp. 429–40.
  • Rahimi, P & Ward, CA 2005, 'Kinetics of Evaporation: Statistical Rate Theory Approach', International Journal of Thermodynamics, vol. 8, no. 9, pp. 1–14.
Wikimedia Commons memiliki media mengenai Maxwell–Boltzmann distributions.

Pranala luar sunting

wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam fisika khususnya mekanika statistik distribusi Maxwell Boltzmann yang menggambarkan kecepatan partikel dalam gas di mana partikel bergerak bebas antara tumbukan kecil tetapi tidak berinteraksi satu sama lain sebagai fungsi suhu dari sistem massa partikel dan kecepatan partikel Partikel dalam konteks ini mengacu pada atom atau molekul dari gas Tidak ada perbedaan antara keduanya dalam perkembangan dan hasilnya 1 Maxwell BoltzmannFungsi kepekatan probabilitasFungsi distribusi kumulatifParametera gt 0 displaystyle a gt 0 Dukunganx 0 displaystyle x in 0 infty PDF2 p x 2 e x 2 2 a 2 a 3 displaystyle sqrt frac 2 pi frac x 2 e x 2 left 2a 2 right a 3 CDFerf x 2 a 2 p x e x 2 2 a 2 a displaystyle operatorname erf left frac x sqrt 2 a right sqrt frac 2 pi frac xe x 2 left 2a 2 right a di mana erf adalah fungsi galatMeanm 2 a 2 p displaystyle mu 2a sqrt frac 2 pi Modus2 a displaystyle sqrt 2 a Variances 2 a 2 3 p 8 p displaystyle sigma 2 frac a 2 3 pi 8 pi Skewnessg 1 2 2 16 5 p 3 p 8 3 2 displaystyle gamma 1 frac 2 sqrt 2 16 5 pi 3 pi 8 3 2 Ex kurtosisg 2 4 96 40 p 3 p 2 3 p 8 2 displaystyle gamma 2 4 frac left 96 40 pi 3 pi 2 right 3 pi 8 2 Entropiln a 2 p g 1 2 displaystyle ln left a sqrt 2 pi right gamma frac 1 2 Ini merupakan distribusi probabilitas untuk kecepatan sebuah partikel yang berwujud gas Besaran dari vektor kecepatan yang berarti pada suhu tertentu partikel akan memiliki kecepatan yang dipilih secara acak dari distribusi tapi lebih cenderung berada dalam satu rentang dari beberapa kecepatan yang lain 2 Distribusi Maxwell Boltzmann berlaku untuk gas ideal di dalam kesetimbangan termodinamika dengan efek kuantum yang dapat diabaikan dan di kecepatan non relativistik Ini membentuk dasar dari teori kinetik gas yang memberikan penjelasan sederhana dari banyak sifat gas fundamental termasuk tekanan dan difusi 3 Namun ada perluasan untuk kecepatan relativistik lihat distribusi Maxwell Juttner di bawah ini Distribusi ini dinamai dari nama James Clerk Maxwell dan Ludwig Boltzmann Daftar isi 1 Aplikasi Fisik 2 Distribusi dalam berbagai bentuk 3 Distribusi untuk vektor momentum 4 Distribusi Energi 5 Distribusi dari vektor kecepatan 6 Distribusi kecepatan 7 Distribusi untuk kecepatan relatif 8 Typical speeds 9 Distribusi kecepatan relativistik 10 Lihat pula 11 Referensi 12 Bacaan lebih lanjut 13 Pranala luarAplikasi Fisik suntingBiasanya distribusi Maxwell Boltzmann mengacu pada kecepatan molekul tetapi juga berlaku untuk distribusi momentum dan energi dari molekul Untuk jumlah vektor 3 dimensi komponennya diperlakukan independen dan terdistribusi normal dengan rata rata sama dengan 0 dan standar deviasi dari a jika Xi didistribusikan sebagai X N 0 a 2 displaystyle X sim N 0 a 2 nbsp maka Z X 1 2 X 2 2 X 3 2 displaystyle Z sqrt X 1 2 X 2 2 X 3 2 nbsp disebut sebagai distribusi Maxwell Boltzmann dengan parameter a Terlepas dari skala parameter a distribusi identik dengan distribusi chi yang memiliki 3 derajat kebebasan Distribusi dalam berbagai bentuk suntingTurunan asli oleh Maxwell diasumsikan bahwa ketiga arah akan memikiki perilaku yang sama tetapi turunan selanjutnya yang dikembangkan oleh Boltzmann mematahkan asumsi ini dengan teori kinetik Distribusi Maxwell Boltzmann untuk energi sebagian besar dapat langsung diturunkan dari distribusi Boltzmann untuk energi lihat juga statistik Maxwell Boltzmann dari mekanika statistik 4 5 N i N g i exp E i k T j g j exp E j k T 1 displaystyle frac N i N frac g i exp left E i kT right sum j g j exp left E j kT right qquad qquad 1 nbsp dimana i adalah microstate menunjukkan satu konfigurasi partikel dalam keadaan kuantum lihat fungsi partisi Ei adalah tingkat energi dari microstatei T adalah temperatur kesetimbangan sistem gi adalah faktor degenerasi atau jumlah dari microstates yang mengalami degenerasi yang memiliki tingkat energi yang sama k adalah konstanta Boltzmann Ni adalah jumlah molekul pada suhu kesetimbangan T dalam keadaan i yang memiliki energi E i dan degenerasi gi N adalah jumlah total molekul dalam sistem Ingat bahwa kadang kadang persamaan di atas ditulis tanpa faktor degenerasi gi Dalam hal ini i akan menentukan keadaan masing masing bukan satu set keadaan gi yang memiliki energi Ei yang sama Karena vektor kecepatan dan kecepatan berkaitan dengan energi maka persamaan 1 dapat digunakan untuk menurunkan hubungan antara suhu dan kecepatan molekul dalam gas Penyebut dalam persamaan ini dikenal sebagai fungsi partisi kanonik Distribusi untuk vektor momentum suntingBerikut ini adalah turunan yang berbeda dari turunan yang dijelaskan oleh James Clerk Maxwell dan kemudian digambarkan dengan sedikit asumsi berdasarkan Ludwig Boltzmann Sebaliknya turunan ini mirip dengan pendekatan Boltzmann pada tahun 1877 Untuk kasus sebuah gas ideal yang terdiri dari atom atom yang tidak berinteraksi pada keadaan dasar semua energinya berada dalam bentuk energi kinetik dan gi konstan untuk semua i Hubungan antara energi kinetik dan momentum untuk partikel yang besar adalah E p 2 2 m 2 displaystyle E frac p 2 2m qquad qquad 2 nbsp dimana p2 adalah kuadrat dari vektor momentum p px py pz Dengan demikian persamaan 1 dapat ditulis sebagai N i N 1 Z exp p i x 2 p i y 2 p i z 2 2 m k T 3 displaystyle frac N i N frac 1 Z exp left frac p i x 2 p i y 2 p i z 2 2mkT right qquad qquad 3 nbsp dimanaZ adalah fungsi partisi sesuai dengan penyebut pada persamaan 1 Dalam persamaan ini m adalah massa molekul gas T adalah suhu termodinamika dank adalah konstanta Boltzmann Distribusi Ni N sebanding terhadap fungsi probabbilitas densitas fp untuk menemukan molekul dengan nilai nilai komponen momentum ini maka f p p x p y p z c Z exp p x 2 p y 2 p z 2 2 m k T 4 displaystyle f mathbf p p x p y p z frac c Z exp left frac p x 2 p y 2 p z 2 2mkT right qquad qquad 4 nbsp Konstanta normalisasi c dapat ditentukan dengan melihat kemungkinan bahwa sebuah molekul pasti memiliki nilai momentum 1 Oleh karena itu integral dari persamaan 4 untuk px py dan pz harus 1 Dapat ditunjukkan bahwa c Z 2 p m k T 3 2 5 displaystyle c frac Z 2 pi mkT 3 2 qquad qquad 5 nbsp Mengganti Persamaan 5 ke persamaan 4 menghasilkan f p p x p y p z 1 2 p m k T 3 2 exp p x 2 p y 2 p z 2 2 m k T 6 displaystyle f mathbf p p x p y p z left frac 1 2 pi mkT right 3 2 exp left frac p x 2 p y 2 p z 2 2mkT right qquad qquad 6 nbsp Distribusi ini adalah produk dari tiga variabel independen yang terdistribusi normal p x displaystyle p x nbsp p y displaystyle p y nbsp dan p z displaystyle p z nbsp dengan variansi m k T displaystyle mkT nbsp Selain itu dapat dilihat bahwa besarnya momentum akan didistribusikan sebagai distribusi Maxwell Boltzmann dengan a m k T displaystyle a sqrt mkT nbsp Distribusi Maxwell Boltzmann untuk momentum atau sama untuk vektor kecepatan dapat diperoleh lebih mendasar menggunakan teorema H pada kesetimbangan dalam kerangka teori kinetik Distribusi Energi suntingMenggunakan p 2mE dan fungsi distribusi untuk besaran momentum lihat di bawah kita mendapatkan persamaan distribusi energi f E d E f p d p d E d E 2 E p 1 k T 3 2 exp E k T d E 7 displaystyle f E dE f p left frac dp dE right dE 2 sqrt frac E pi left frac 1 kT right 3 2 exp left frac E kT right dE qquad qquad 7 nbsp Karena energi yang sebanding dengan jumlah kuadrat dari tiga komponen momentum yang terdistribusi normal distribusi ini adalah distribusi gamma dan distribusi chi kuadrat dengan tiga derajat kebebasan Pada teorema equipartisi energi ini dibagi rata di antara ketiga derajat kebebasan sehingga energi per derajat kebebasan yang didistribusikan sebagai distribusi chi kuadrat memiliki satu derajat kebebasan 6 f ϵ ϵ d ϵ ϵ p k T exp ϵ k T d ϵ displaystyle f epsilon epsilon d epsilon sqrt frac epsilon pi kT exp left frac epsilon kT right d epsilon nbsp dimana ϵ displaystyle epsilon nbsp adalah energi per derajat kebebasan Pada kesetimbangan distribusi ini akan berlaku untuk sejumlah derajat kebebasan Misalnya jika partikelnya merupakan dipol massa yang kaku partikel tersebut akan memiliki tiga derajat kebebasan translasi dan dua derajat kebebasan rotasi tambahan Energi dari setiap derajat kebebasan akan dijelaskan sesuai dengan distribusi chi kuadrat dengan satu derajat kebebasan dan total energi akan didistribusikan menurut distribusi chi kuadrat dengan lima derajat kebebasan Hal ini memiliki implikasi pada teori specific heat gas Distribusi Maxwell Boltzmann juga dapat diperoleh dengan menganggap gas menjadi jenis gas kuantum Distribusi dari vektor kecepatan suntingMengetahui bahwa densitas probabilitas vektor kecepatan fv sebanding dengan fungsi densitas probabilitas momentum oleh f v d 3 v f p d p d v 3 d 3 v displaystyle f mathbf v d 3 v f mathbf p left frac dp dv right 3 d 3 v nbsp dengan menggunakan p mv maka kita mendapatkan f v v x v y v z m 2 p k T 3 2 exp m v x 2 v y 2 v z 2 2 k T displaystyle f mathbf v v x v y v z left frac m 2 pi kT right 3 2 exp left frac m v x 2 v y 2 v z 2 2kT right qquad qquad nbsp yang merupakan distribusi vektor kecepatan Maxwell Boltzmann Probabilitas untuk menemukan partikel dengan vektor kecepatan dalam elemen yang sangat kecil dvx dvy dvz dengan vektor kecepatan v vx vy vz adalah f v v x v y v z d v x d v y d v z displaystyle f mathbf v left v x v y v z right dv x dv y dv z nbsp Seperti momentum distribusi ini dipandang sebagai produk dari tiga variabel independen terdistribusi normal yaitu v x displaystyle v x nbsp v y displaystyle v y nbsp and v z displaystyle v z nbsp namun dengan variansi k T m displaystyle frac kT m nbsp Hal ini dapat juga menunjukkan bahwa distribusi vektor kecepatan Maxwell Boltzmann untuk vektor kecepatan vx vy vz adalah produk dari distribusi untuk masing masing arah f v v x v y v z f v v x f v v y f v v z displaystyle f v left v x v y v z right f v v x f v v y f v v z nbsp dimana distribusi untuk satu arah adalah f v v i m 2 p k T exp m v i 2 2 k T displaystyle f v v i sqrt frac m 2 pi kT exp left frac mv i 2 2kT right qquad qquad nbsp Setiap komponen dari vektor kecepatan memiliki distribusi normal dengan rata rata m v x m v y m v z 0 displaystyle mu v x mu v y mu v z 0 nbsp dan standar deviasi s v x s v y s v z k T m displaystyle sigma v x sigma v y sigma v z sqrt frac kT m nbsp sehingga vektor memiliki distribusi normal 3 dimensi disebut juga distribusi multinormal dengan rata rata m v 0 displaystyle mu mathbf v mathbf 0 nbsp dan standar deviasi s v 3 k T m displaystyle sigma mathbf v sqrt frac 3kT m nbsp Distribusi kecepatan sunting nbsp Fungsi kecepatan kepadatan probabilitas kecepatan beberapa gas mulia es pada suhu 298 15 K 25 C Dimana y axis adalah dalam s m sehingga daerah di bawah setiap bagian dari kurva yang merupakan probabilitas dari kecepatan berada di kisaran itu adalah tidak berdimensi Biasanya kita lebih tertarik pada kecepatan molekul daripada vektor kecepatan komponennya Distribusi Maxwell Boltzmann untuk kecepatan diambil dari distribusi vektor kecepatan di atas Perhatikan bahwa kecepatan adalah v v x 2 v y 2 v z 2 displaystyle v sqrt v x 2 v y 2 v z 2 nbsp dan kenaikan volumenya sebesar d v x d v y d v z v 2 sin ϕ d v d 8 d ϕ displaystyle dv x dv y dv z v 2 sin phi dv d theta d phi nbsp dimana 8 displaystyle theta nbsp dan ϕ displaystyle phi nbsp adalah arah azimut dari vector kecepatan dan path angle elevasi sudut dari vektor kecepatan Integrasi vektor kecepatan dari fungsi densitas probabilitas normal di atas selama berada di arah dari 0 hingga 2 p displaystyle 2 pi nbsp dan path angle dari 0 hingga p displaystyle pi nbsp dengan substitusi kecepatan untuk jumlah kuadrat komponen vektor menghasilkan fungsi densitas probabilitas f v 2 p m k T 3 v 2 exp m v 2 2 k T displaystyle f v sqrt frac 2 pi left frac m kT right 3 v 2 exp left frac mv 2 2kT right nbsp untuk kecepatan Persamaannya menjadi Maxwell distribution dengan parameter distribusi a k T m displaystyle a sqrt frac kT m nbsp Kita sering kali lebih tertarik dalam jumlah seperti kecepatan rata rata partikel daripada distribusi sebenarnya Kecepatan rata rata kecepatan yang paling mungkin mode dan akar kuadrat rata rata dapat diperoleh dari sifat distribusi Maxwell Distribusi untuk kecepatan relatif suntingKecepatan relatif diartikan sebagai u v v p displaystyle u v over v p nbsp dimana v p 2 k T m 2 R T M displaystyle v p sqrt frac 2kT m sqrt frac 2RT M nbsp adalah kecepatan yang paling mungkin Distribusi kecepatan relatif memungkinkan perbandingan gas yang berbeda bergantung pada suhu dan berat molekul Typical speeds suntingWalaupun persamaan di atas memberikan distribusi untuk kecepatan atau dengan kata lain sebagian kecil waktu dari molekul yang memiliki kecepatan tertentu kita sering kali lebih tertarik pada jumlah seperti kecepatan rata rata daripada distribusi keseluruhan Kecepatan yang paling mungkin vp adalah kecepatan yang paling mungkin dimiliki oleh setiap molekul dengan massa yang sama m dalam sistem dan sesuai dengan nilai maksimum atau mode dari f v Untuk menemukannya kita menghitung df dv mengubahnya ke nol dan mencari nilai untuk v d f v d v 0 displaystyle frac df v dv 0 nbsp sehingga dihasilkan v p 2 k T m 2 R T M displaystyle v p sqrt frac 2kT m sqrt frac 2RT M nbsp Dimana R adalah konstanta gas dan M NA m adalah massa molar dari molekul Untuk nitrogen diatomik N2 komponen utama dari udara pada suhu kamar 300 K hal ini menghasilkan v p 422 displaystyle v p 422 nbsp m s Kecepatan rata rata adalah rata rata matematika dari distribusi kecepatan v 0 v f v d v 8 k T p m 8 R T p M 2 p v p displaystyle langle v rangle int 0 infty v f v dv sqrt frac 8kT pi m sqrt frac 8RT pi M frac 2 sqrt pi v p nbsp Akar kuadrat rata rata dari kecepatan vrms adalah akar kuadrat dari kecepatan kuadrat rata rata v r m s 0 v 2 f v d v 1 2 3 k T m 3 R T M 3 2 v p displaystyle v mathrm rms left int 0 infty v 2 f v dv right 1 2 sqrt frac 3kT m sqrt frac 3RT M sqrt frac 3 2 v p nbsp Typical speeds dihubungkan sebagai berikut 0 886 v v p lt v lt v r m s 1 085 v displaystyle 0 886 langle v rangle v p lt langle v rangle lt v mathrm rms 1 085 langle v rangle nbsp Distribusi kecepatan relativistik sunting nbsp Distribusi kecepatan Maxwell Juttner Relativistik Maxwellian untuk gas elektron pada temperatur yang berbedaKetika suhu gas meningkat dan kT mendekati atau melewati mc2 distribusi probabilitas untuk g 1 1 v 2 c 2 displaystyle gamma 1 sqrt 1 v 2 c 2 nbsp dalam relativistik Maxwellian untuk gas dinyatakan dengan distribusi Maxwell Juttner 7 f g g 2 b 8 K 2 1 8 e x p g 8 11 displaystyle f gamma frac gamma 2 beta theta K 2 1 theta mathrm exp left frac gamma theta right qquad 11 nbsp dimana b v c 1 1 g 2 displaystyle beta frac v c sqrt 1 1 gamma 2 nbsp 8 k T m c 2 displaystyle theta frac kT mc 2 nbsp dan K 2 displaystyle K 2 nbsp adalah fungsi Bessel dari jenis kedua yang dimodifikasi Alternatif lainnya dapat juga ditulis dalam bentuk momentum sebagai berikut f p 1 4 p m 3 c 3 8 K 2 1 8 e x p g p 8 displaystyle f p frac 1 4 pi m 3 c 3 theta K 2 1 theta mathrm exp left frac gamma p theta right nbsp dimana g p 1 p m c 2 displaystyle gamma p sqrt 1 left frac p mc right 2 nbsp Persamaan Maxwell Juttner adalah kovarian tetapi tidak dapat dibuktikan dan temperatur gas tidak bervariasi dengan kecepatan total gas 8 Lihat pula suntingPersamaan Boltzmann kuantum Statistika Maxwell Boltzmann Distribusi Maxwell Juttner Distribusi Boltzmann Faktor Boltzmann Distribusi Rayleigh Teori kinetika gasReferensi sunting 2nd Edition F Mandl Manchester Fisika John Wiley amp Sons 2008 ISBN 9 780471 91533 University Physics With Modern Physics 12th Edition H D Young R A Freedman Original edition Addison Wesley Pearson International 1st Edition 1949 12th Edition 2008 ISBN 10 0 321 50130 6 ISBN 13 978 0 321 50130 1 Encyclopaedia of Physics 2nd Edition R G Lerner G L Trigg VHC publishers 1991 ISBN Verlagsgesellschaft 3 527 26954 1 ISBN VHC Inc 0 89573 752 3 McGraw Hill Encyclopaedia of Physics 2nd Edition C B Parker 1994 ISBN 0 07 051400 3 Statistical Physics 2nd Edition F Mandl Manchester Physics John Wiley amp Sons 2008 ISBN 9 780471 91533 Laurendeau Normand M 2005 Statistical thermodynamics fundamentals and applications Cambridge University Press hlm 434 ISBN 0 521 84635 8 Appendix N page 434 Synge J L 1957 The Relativistic Gas Series in physics North Holland LCCN 57 003567 Chacon Acosta Guillermo Dagdug Leonardo Morales Tecotl Hugo A 2009 On the Manifestly Covariant Juttner Distribution and Equipartition Theorem arXiv 0910 1625v1 Diakses tanggal 2011 10 22 Bacaan lebih lanjut suntingPhysics for Scientists and Engineers with Modern Physics 6th Edition P A Tipler G Mosca Freeman 2008 ISBN 0 7167 8964 7 Thermodynamics From Concepts to Applications 2nd Edition A Shavit C Gutfinger CRC Press Taylor and Francis Group USA 2009 ISBN 978 1 4200 7368 3 Chemical Thermodynamics D J G Ives University Chemistry Macdonald Technical and Scientific 1971 ISBN 0 356 03736 3 Elements of Statistical Thermodynamics 2nd Edition L K Nash Principles of Chemistry Addison Wesley 1974 ISBN 0 201 05229 6 Ward CA amp Fang G 1999 Expression for predicting liquid evaporation flux Statistical rate theory approach Physical Review E vol 59 no 1 pp 429 40 Rahimi P amp Ward CA 2005 Kinetics of Evaporation Statistical Rate Theory Approach International Journal of Thermodynamics vol 8 no 9 pp 1 14 nbsp Wikimedia Commons memiliki media mengenai Maxwell Boltzmann distributions Pranala luar sunting Inggris The Maxwell Speed Distribution dari The Wolfram Demonstrations Project di Mathworld Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Distribusi Maxwell Boltzmann amp oldid 21419865