www.wikidata.id-id.nina.az

Kaidah rantai Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Chain rule di en wikipedia org Isinya ma

Kaidah rantai

Dalam kalkulus, kaidah rantai atau aturan rantai adalah rumus untuk turunan fungsi komposit (fungsi bersusun) dari dua fungsi matematika.

Secara intuitif, bila variabel y bergantung pada variabel kedua, u, yang pada gilirannya bergantung pada variabel ketiga, x, maka laju perubahan y terhadap x dapat dihitung sebagai laju perubahan y terhadap u dikalikan dengan laju perubahan u terhadap x. Ini dapat dituliskan sebagai

Aturan rantai dapat ditulis ulang dalam notasi Leibniz dengan cara berikut. Bila variabel z tergantung pada variabel y, yang bergantung pada variabelnya x (yaitu y dan z adalah variabel dependen), lalu z, melalui variabel perantara y, tergantung pada x demikian juga. Dalam hal ini, aturan rantai menyatakan bahwa:

Lebih tepatnya, untuk menunjukkan titik setiap turunan evaluasi, .

Versi aturan rantai di Lagrange dan notasi Leibniz adalah setara, dalam arti bila dan , seperti nilai , maka

dan

Secara intuitif, aturan rantai menyatakan bahwa mengetahui tingkat perubahan seketika z tergantung pada y dan dari y relative to x memungkinkan seseorang untuk menghitung tingkat perubahan seketika z tergantung pada x. Seperti yang dikemukakan oleh George F. Simmons: "Jika sebuah mobil melaju dua kali lebih cepat dari sepeda dan sepeda empat kali lebih cepat dari orang yang berjalan kaki, maka mobil tersebut berjalan 2 × 4 = 8 kali lebih cepat dari pria itu."

Dalam integrasi, pasangan dari aturan rantai adalah aturan substitusi.

Sejarah Sunting

Aturan rantai tampaknya pertama kali digunakan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz. Dia menggunakannya untuk menghitung turunan dari sebagai gabungan dari fungsi akar kuadrat dan fungsi . Dia pertama kali menyebutkannya dalam memoar 1676 (dengan kesalahan tanda dalam perhitungan). Notasi umum aturan rantai adalah karena Leibniz. Guillaume de l'Hôpital menggunakan aturan rantai secara implisit dalam miliknya Analyse des infiniment petits. Aturan rantai tidak muncul di buku analisis Leonhard Euler, meskipun mereka ditulis lebih dari seratus tahun setelah penemuan Leibniz.

Satu dimensi Sunting

Contoh pertama Sunting

Contohnya seorang penerjun payung melompat dari pesawat terbang. Asumsikan bahwa t detik setelah lompatannya, ketinggiannya di atas permukaan laut dalam meter diberikan oleh g(t) = 4000 − 4.9t2. Satu model untuk tekanan atmosfer di ketinggian h is f(h) = 101325 e−0.0001h. Kedua persamaan ini dapat dibedakan dan digabungkan dengan berbagai cara untuk menghasilkan data berikut:

  • g′(t) = −9.8t adalah kecepatan skydiver pada saat itu t.
  • f′(h) = −10.1325e−0.0001h adalah laju perubahan tekanan atmosfer sehubungan dengan ketinggian di ketinggian h dan sebanding dengan gaya apung pada skydiver di h meters above sea level. (Gaya apung sebenarnya tergantung pada volume skydiver tersebut.)
  • (f ∘ g)(t) adalah tekanan atmosfer yang dialami skydiver t detik setelah lompatannya.
  • (f ∘ g)′(t) adalah laju perubahan tekanan atmosfer terhadap waktu di t detik setelah skydiver melompat, dan sebanding dengan gaya apung pada skydiver di t detik setelah lompatan.

Di sini, aturan rantai memberikan metode untuk menghitung (f ∘ g)′(t) istilah dari f′ dan g′. Meskipun selalu mungkin untuk secara langsung menerapkan definisi turunan untuk menghitung turunan fungsi komposit, ini biasanya sangat sulit. Kegunaan kaidah rantai adalah mengubah turunan yang rumit menjadi beberapa turunan mudah.

Kaidah rantai menyatakan bahwa, dalam kondisi yang sesuai,

Dalam contoh ini sama dengan

Dalam pernyataan kaidah rantai, f dan g memainkan peran yang sedikit berbeda karena f' adalah evaluasi pada , sedangkan g' adalah evaluasi pada t. Karena hal ini diperlukan agar unit bekerja dengan benar.

Contohnya, kita ingin menghitung laju perubahan tekanan atmosfer sepuluh detik setelah skydiver melompat. Karena, (f ∘ g)′(10) dan memiliki satuan pascal per detik. Faktor g′(10) dalam kaidah rantai adalah kecepatan skydiver sepuluh detik setelah lompatannya, dan dinyatakan dalam meter per detik. adalah perubahan tekanan terhadap ketinggian di ketinggian g(10) dan dinyatakan dalam pascal per meter. Produk dari dan oleh karena itu memiliki satuan pascal per detik yang benar.

Di sini, perhatikan bahwa evaluasi tidak dapat dilakukan f di tempat lain. Contohnya, 10 dalam soal mewakili sepuluh detik, sedangkan ekspresi akan mewakili perubahan tekanan pada ketinggian sepuluh meter, yang tidak kami inginkan. Begitu pula saat g′(10) = −98 memiliki satuan meter per detik, ekspresi tersebut f′(g′(10)) akan mewakili perubahan tekanan pada ketinggian −98 meter, yang sekali lagi bukan yang kami inginkan. Namun, g(10) adalah 3020 meter di atas permukaan laut, ketinggian skydiver sepuluh detik setelah lompatannya, dan ini memiliki satuan yang benar untuk masukan f.

Pernyataan Sunting

Bentuk paling sederhana dari kaidah rantai adalah untuk fungsi bernilai riil dari satu variabel nyata. Karena hal ini menyatakan bahwa jika g adalah fungsi yang dapat dibedakan pada suatu titik c (yaitu turunan g′(c) ada) dan f adalah fungsi yang dapat dibedakan pada g(c), lalu fungsi komposit f ∘ g dibedakan di c, dan turunannya adalah

Kaidah tersebut terkadang disingkat

Bila y = f(u) dan u = g(x), maka bentuk singkatan ini ditulis dalam notasi Leibniz sebagai:

Poin-poin di mana turunan dari hasil evaluasi juga dapat dinyatakan secara eksplisit:

Membawa alasan yang sama lebih jauh, diberikan n fungsi dengan fungsi komposit , bila masing-masing fungsi dapat dibedakan pada masukan langsungnya, maka fungsi komposit juga dapat dibedakan dengan penerapan Aturan Rantai yang berulang, di mana turunannya adalah (dalam notasi Leibniz):

Contoh lebih lanjut Sunting

Tidak adanya rumus Sunting

Dimungkinkan untuk menerapkan kaidah rantai bahkan ketika tidak ada rumus untuk fungsi yang sedang dibedakan. Karena hal ini bisa terjadi jika turunannya diukur secara langsung. Contohnya sebuah mobil sedang mendaki gunung yang tinggi. Speedometer mobil mengukur kecepatannya secara langsung. Jika tingkat diketahui, laju pendakian dapat dihitung menggunakan trigonometri. Contohnya mobil sedang naik pada 2,5 km/h. Model standar untuk atmosfer bumi menyiratkan bahwa suhu turun sekitar 6,5 °C per kilometer naik (disebut tingkat selang waktu). Untuk mengetahui penurunan suhu per jam, kita dapat menerapkan aturan rantai. Biarkan fungsinya g(t) menjadi ketinggian mobil pada saat itu t, dan biarkan fungsinya f(h) menjadi suhu h kilometer di atas permukaan laut. f dan g tidak diketahui secara pasti: Contohnya, ketinggian tempat mobil mulai tidak diketahui dan suhu di gunung tidak diketahui. Namun, turunannya diketahui: f′ adalah −6,5 °C/km, dan g′ adalah 2,5 km/h. Kaidah rantai menyatakan bahwa turunan dari fungsi komposit adalah hasil kali dari turunan f dan turunan dari g. Karena ini adalah −6,5 °C/km ⋅ 2,5 km/h = −16,25 °C/j.

Salah satu alasan mengapa penghitungan ini dimungkinkan adalah karena f′ adalah fungsi konstan. Penjelasan yang lebih akurat tentang bagaimana suhu di dekat mobil bervariasi dari waktu ke waktu memerlukan model yang akurat tentang bagaimana suhu bervariasi pada ketinggian yang berbeda. Model ini mungkin tidak memiliki turunan konstan. Untuk menghitung perubahan suhu pada model seperti itu, perlu diketahui g dan bukan hanya g′, karena tanpa disadari g tidak mungkin mengetahui di mana harus mengevaluasi f′.

Komposit lebih dari dua fungsi Sunting

Kaidah rantai dapat diterapkan pada komposit lebih dari dua fungsi. Untuk mengambil turunan dari gabungan lebih dari dua fungsi, perhatikan bahwa gabungan dari f, g, dan h (dalam urutan itu) adalah gabungan dari f maka g ∘ h. Kaidah rantai menyatakan bahwa untuk menghitung turunan dari f ∘ g ∘ h, itu cukup untuk menghitung turunan dari f dan turunan dari g ∘ h. Turunan dari f dapat dihitung secara langsung, dan turunan dari g ∘ h dapat dihitung dengan menerapkan aturan rantai lagi.

Untuk konkretnya, pertimbangkan fungsinya

Ini dapat diuraikan sebagai gabungan dari tiga fungsi:

Turunannya adalah:

Kaidah rantai menyatakan bahwa turunan komposit mereka pada titik x = a adalah:

Dalam notasi Leibniz, adalah:

atau singkatnya,

Oleh karena itu, fungsi turunannya adalah:

Cara lain untuk menghitung turunan ini adalah dengan melihat fungsi komposit f ∘ g ∘ h sebagai gabungan dari f ∘ g dan h. Menerapkan aturan rantai dengan cara ini akan menghasilkan:

sama dengan yang dihitung di atas. hal ini harus diharapkan karena (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h).

Terkadang, perlu untuk membedakan komposisi bentuk yang sangat panjang . Dalam kasus ini, definisikan

dimana dan ketika . Kemudian aturan rantai terbentuk

atau, dalam notasi Lagrange,

Kaidah hasil bagi Sunting

Lihat pula: Kaidah hasil bagi

Kaidah rantai dapat digunakan untuk mendapatkan beberapa aturan diferensiasi yang terkenal. Contohnya, kaidah hasil bagi adalah konsekuensi dari aturan rantai dan aturan perkalian. Untuk melihat ini, tulis fungsinya f(x)/g(x) sebagai produk f(x) · 1/g(x). Pertama, terapkan kaidah hasil kali:

Untuk menghitung turunan 1/g(x), perhatikan bahwa itu adalah gabungan dari g dengan fungsi timbal balik, yaitu fungsi yang mengirim x to 1/x. Turunan dari fungsi timbal balik adalah . Dengan menerapkan aturan rantai, ekspresi terakhir menjadi:

yang merupakan rumus umum untuk aturan hasil bagi.

Turunan dari fungsi invers Sunting

Artikel utama: Fungsi dan diferensiasi invers

Turunan yang lebih tinggi Sunting

Faà di Bruno's formula menggeneralisasi aturan rantai ke turunan yang lebih tinggi. Berasumsi bahwa y = f(u) dan u = g(x), maka beberapa turunan pertamanya adalah:

Bukti Sunting

Bukti pertama Sunting

Salah satu bukti aturan rantai dimulai dengan definisi turunannya:

Asumsikan untuk saat itu tidak sama untuk apapun x dekat a. Maka persamaan sebelumnya sama dengan hasil kali dua faktor:

<!-+If oscillates near a, then it might happen that no matter how close one gets to a, there is always an even closer x such that equals . -->Contohnya, ini terjadi untuk g(x) = x2sin(1 / x) mendekati intinya a = 0. Kapanpun ini terjadi, ekspresi di atas tidak terdefinisi karena melibatkan pembagian dengan nol. Untuk menyiasatinya, perkenalkan sebuah fungsi sebagai berikut:

Kami akan menunjukkan bahwa hasil bagi perbedaan f ∘ g selalu sama dengan:

.

Bukti kedua Sunting

Bukti ketiga Sunting

Kasus multivariabel Sunting

Generalisasi lebih lanjut Sunting

Bukti Sunting

Misalkan fungsi f dengan y = f(u) dan fungsi g dengan u = g(x) masing-masing terdiferensiasi di titik u = u0 dan x = x0. Maka y merupakan fungsi komposit dari x . Turunan y terhadap x di titik x0 dinyatakan sebagai

Misalkan , dan . Untuk maka . Dengan mensubstitusi, kita dapat menuliskan

Referensi Sunting

  1. ^ . oregonstate.edu. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2019-07-25. Diakses tanggal 2019-07-28. 
  2. George F. Simmons, Kalkulus dengan Geometri Analitik (1985), p. 93.
  3. Rodríguez, Omar Hernández; López Fernández, Jorge M. (2010). "Refleksi Semiotik pada Didaktik Aturan Rantai". Penggemar Matematika. 7 (2): 321–332. Diakses tanggal 2019-08-04. 
  4. Apostol, Tom (1974). Analisis matematis (edisi ke-2nd). Addison Wesley. Theorem 5.5. 
  5. ^ "Kaidah Rantai untuk Turunan". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2016-06-05. Diakses tanggal 2019-07-28. 

Pranala luar Sunting

wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Chain rule di en wikipedia org Isinya masih belum akurat karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan Jika Anda menguasai bahasa aslinya harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat Lihat pula panduan penerjemahan artikel Dalam kalkulus kaidah rantai atau aturan rantai adalah rumus untuk turunan fungsi komposit fungsi bersusun dari dua fungsi matematika Secara intuitif bila variabel y bergantung pada variabel kedua u yang pada gilirannya bergantung pada variabel ketiga x maka laju perubahan y terhadap x dapat dihitung sebagai laju perubahan y terhadap u dikalikan dengan laju perubahan u terhadap x Ini dapat dituliskan sebagai d y d x d y d u d u d x displaystyle frac dy dx frac dy du cdot frac du dx Aturan rantai dapat ditulis ulang dalam notasi Leibniz dengan cara berikut Bila variabel z tergantung pada variabel y yang bergantung pada variabelnya x yaitu y dan z adalah variabel dependen lalu z melalui variabel perantara y tergantung pada x demikian juga Dalam hal ini aturan rantai menyatakan bahwa d z d x d z d y d y d x displaystyle frac dz dx frac dz dy cdot frac dy dx Lebih tepatnya untuk menunjukkan titik setiap turunan evaluasi d z d x x d z d y y x d y d x x displaystyle left frac dz dx right x left frac dz dy right y x cdot left frac dy dx right x Versi aturan rantai di Lagrange dan notasi Leibniz adalah setara dalam arti bila z f y displaystyle z f y dan y g x displaystyle y g x seperti nilai z f g x f g x displaystyle z f g x f circ g x maka d z d x x f g x displaystyle left frac dz dx right x f circ g x dan d z d y y x d y d x x f y x g x f g x g x displaystyle left frac dz dy right y x cdot left frac dy dx right x f y x g x f g x g x 1 Secara intuitif aturan rantai menyatakan bahwa mengetahui tingkat perubahan seketika z tergantung pada y dan dari y relative to x memungkinkan seseorang untuk menghitung tingkat perubahan seketika z tergantung pada x Seperti yang dikemukakan oleh George F Simmons Jika sebuah mobil melaju dua kali lebih cepat dari sepeda dan sepeda empat kali lebih cepat dari orang yang berjalan kaki maka mobil tersebut berjalan 2 4 8 kali lebih cepat dari pria itu 2 Dalam integrasi pasangan dari aturan rantai adalah aturan substitusi Daftar isi 1 Sejarah 2 Satu dimensi 2 1 Contoh pertama 2 2 Pernyataan 2 3 Contoh lebih lanjut 2 3 1 Tidak adanya rumus 2 3 2 Komposit lebih dari dua fungsi 2 3 3 Kaidah hasil bagi 2 3 4 Turunan dari fungsi invers 2 4 Turunan yang lebih tinggi 3 Bukti 3 1 Bukti pertama 3 2 Bukti kedua 3 3 Bukti ketiga 4 Kasus multivariabel 5 Generalisasi lebih lanjut 6 Bukti 7 Referensi 8 Pranala luarSejarah SuntingAturan rantai tampaknya pertama kali digunakan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz Dia menggunakannya untuk menghitung turunan dari a b z c z 2 displaystyle sqrt a bz cz 2 nbsp sebagai gabungan dari fungsi akar kuadrat dan fungsi a b z c z 2 displaystyle a bz cz 2 nbsp Dia pertama kali menyebutkannya dalam memoar 1676 dengan kesalahan tanda dalam perhitungan Notasi umum aturan rantai adalah karena Leibniz 3 Guillaume de l Hopital menggunakan aturan rantai secara implisit dalam miliknya Analyse des infiniment petits Aturan rantai tidak muncul di buku analisis Leonhard Euler meskipun mereka ditulis lebih dari seratus tahun setelah penemuan Leibniz Satu dimensi SuntingContoh pertama Sunting Contohnya seorang penerjun payung melompat dari pesawat terbang Asumsikan bahwa t detik setelah lompatannya ketinggiannya di atas permukaan laut dalam meter diberikan oleh g t 4000 4 9t2 Satu model untuk tekanan atmosfer di ketinggian h is f h 101325 e 0 0001h Kedua persamaan ini dapat dibedakan dan digabungkan dengan berbagai cara untuk menghasilkan data berikut g t 9 8t adalah kecepatan skydiver pada saat itu t f h 10 1325e 0 0001h adalah laju perubahan tekanan atmosfer sehubungan dengan ketinggian di ketinggian h dan sebanding dengan gaya apung pada skydiver di h meters above sea level Gaya apung sebenarnya tergantung pada volume skydiver tersebut f g t adalah tekanan atmosfer yang dialami skydiver t detik setelah lompatannya f g t adalah laju perubahan tekanan atmosfer terhadap waktu di t detik setelah skydiver melompat dan sebanding dengan gaya apung pada skydiver di t detik setelah lompatan Di sini aturan rantai memberikan metode untuk menghitung f g t istilah dari f dan g Meskipun selalu mungkin untuk secara langsung menerapkan definisi turunan untuk menghitung turunan fungsi komposit ini biasanya sangat sulit Kegunaan kaidah rantai adalah mengubah turunan yang rumit menjadi beberapa turunan mudah Kaidah rantai menyatakan bahwa dalam kondisi yang sesuai f g t f g t g t displaystyle f circ g t f g t cdot g t nbsp Dalam contoh ini sama dengan f g t 10 1325 e 0 0001 4000 4 9 t 2 9 8 t displaystyle f circ g t big mathord 10 1325e 0 0001 4000 4 9t 2 big cdot big mathord 9 8t big nbsp Dalam pernyataan kaidah rantai f dan g memainkan peran yang sedikit berbeda karena f adalah evaluasi pada g t displaystyle g t nbsp sedangkan g adalah evaluasi pada t Karena hal ini diperlukan agar unit bekerja dengan benar Contohnya kita ingin menghitung laju perubahan tekanan atmosfer sepuluh detik setelah skydiver melompat Karena f g 10 dan memiliki satuan pascal per detik Faktor g 10 dalam kaidah rantai adalah kecepatan skydiver sepuluh detik setelah lompatannya dan dinyatakan dalam meter per detik f g 10 displaystyle f g 10 nbsp adalah perubahan tekanan terhadap ketinggian di ketinggian g 10 dan dinyatakan dalam pascal per meter Produk dari f g 10 displaystyle f g 10 nbsp dan g 10 displaystyle g 10 nbsp oleh karena itu memiliki satuan pascal per detik yang benar Di sini perhatikan bahwa evaluasi tidak dapat dilakukan f di tempat lain Contohnya 10 dalam soal mewakili sepuluh detik sedangkan ekspresi f 10 displaystyle f 10 nbsp akan mewakili perubahan tekanan pada ketinggian sepuluh meter yang tidak kami inginkan Begitu pula saat g 10 98 memiliki satuan meter per detik ekspresi tersebut f g 10 akan mewakili perubahan tekanan pada ketinggian 98 meter yang sekali lagi bukan yang kami inginkan Namun g 10 adalah 3020 meter di atas permukaan laut ketinggian skydiver sepuluh detik setelah lompatannya dan ini memiliki satuan yang benar untuk masukan f Pernyataan Sunting Bentuk paling sederhana dari kaidah rantai adalah untuk fungsi bernilai riil dari satu variabel nyata Karena hal ini menyatakan bahwa jika g adalah fungsi yang dapat dibedakan pada suatu titik c yaitu turunan g c ada dan f adalah fungsi yang dapat dibedakan pada g c lalu fungsi komposit f g dibedakan di c dan turunannya adalah 4 f g c f g c g c displaystyle f circ g c f g c cdot g c nbsp Kaidah tersebut terkadang disingkat f g f g g displaystyle f circ g f circ g cdot g nbsp Bila y f u dan u g x maka bentuk singkatan ini ditulis dalam notasi Leibniz sebagai d y d x d y d u d u d x displaystyle frac dy dx frac dy du cdot frac du dx nbsp 1 Poin poin di mana turunan dari hasil evaluasi juga dapat dinyatakan secara eksplisit d y d x x c d y d u u g c d u d x x c displaystyle left frac dy dx right x c left frac dy du right u g c cdot left frac du dx right x c nbsp Membawa alasan yang sama lebih jauh diberikan n fungsi f 1 f n displaystyle f 1 ldots f n nbsp dengan fungsi komposit f 1 f 2 f n 1 f n displaystyle f 1 circ f 2 circ cdots f n 1 circ f n nbsp bila masing masing fungsi f i displaystyle f i nbsp dapat dibedakan pada masukan langsungnya maka fungsi komposit juga dapat dibedakan dengan penerapan Aturan Rantai yang berulang di mana turunannya adalah dalam notasi Leibniz d f 1 d x d f 1 d f 2 d f 2 d f 3 d f n d x displaystyle frac df 1 dx frac df 1 df 2 frac df 2 df 3 cdots frac df n dx nbsp 5 Contoh lebih lanjut Sunting Tidak adanya rumus Sunting Dimungkinkan untuk menerapkan kaidah rantai bahkan ketika tidak ada rumus untuk fungsi yang sedang dibedakan Karena hal ini bisa terjadi jika turunannya diukur secara langsung Contohnya sebuah mobil sedang mendaki gunung yang tinggi Speedometer mobil mengukur kecepatannya secara langsung Jika tingkat diketahui laju pendakian dapat dihitung menggunakan trigonometri Contohnya mobil sedang naik pada 2 5 km h Model standar untuk atmosfer bumi menyiratkan bahwa suhu turun sekitar 6 5 C per kilometer naik disebut tingkat selang waktu Untuk mengetahui penurunan suhu per jam kita dapat menerapkan aturan rantai Biarkan fungsinya g t menjadi ketinggian mobil pada saat itu t dan biarkan fungsinya f h menjadi suhu h kilometer di atas permukaan laut f dan g tidak diketahui secara pasti Contohnya ketinggian tempat mobil mulai tidak diketahui dan suhu di gunung tidak diketahui Namun turunannya diketahui f adalah 6 5 C km dan g adalah 2 5 km h Kaidah rantai menyatakan bahwa turunan dari fungsi komposit adalah hasil kali dari turunan f dan turunan dari g Karena ini adalah 6 5 C km 2 5 km h 16 25 C j Salah satu alasan mengapa penghitungan ini dimungkinkan adalah karena f adalah fungsi konstan Penjelasan yang lebih akurat tentang bagaimana suhu di dekat mobil bervariasi dari waktu ke waktu memerlukan model yang akurat tentang bagaimana suhu bervariasi pada ketinggian yang berbeda Model ini mungkin tidak memiliki turunan konstan Untuk menghitung perubahan suhu pada model seperti itu perlu diketahui g dan bukan hanya g karena tanpa disadari g tidak mungkin mengetahui di mana harus mengevaluasi f Komposit lebih dari dua fungsi Sunting Kaidah rantai dapat diterapkan pada komposit lebih dari dua fungsi Untuk mengambil turunan dari gabungan lebih dari dua fungsi perhatikan bahwa gabungan dari f g dan h dalam urutan itu adalah gabungan dari f maka g h Kaidah rantai menyatakan bahwa untuk menghitung turunan dari f g h itu cukup untuk menghitung turunan dari f dan turunan dari g h Turunan dari f dapat dihitung secara langsung dan turunan dari g h dapat dihitung dengan menerapkan aturan rantai lagi Untuk konkretnya pertimbangkan fungsinya y e sin x 2 displaystyle y e sin x 2 nbsp Ini dapat diuraikan sebagai gabungan dari tiga fungsi y f u e u u g v sin v sin x 2 v h x x 2 displaystyle begin aligned y amp f u e u 6pt u amp g v sin v sin x 2 6pt v amp h x x 2 end aligned nbsp Turunannya adalah d y d u f u e u e sin x 2 d u d v g v cos v cos x 2 d v d x h x 2 x displaystyle begin aligned frac dy du amp f u e u e sin x 2 6pt frac du dv amp g v cos v cos x 2 6pt frac dv dx amp h x 2x end aligned nbsp Kaidah rantai menyatakan bahwa turunan komposit mereka pada titik x a adalah f g h a f g h a g h a f g h a g h a h a f g h a g h a h a displaystyle begin aligned f circ g circ h a amp f g circ h a cdot g circ h a 10pt amp f g circ h a cdot g h a cdot h a f circ g circ h a cdot g circ h a cdot h a end aligned nbsp Dalam notasi Leibniz adalah d y d x d y d u u g h a d u d v v h a d v d x x a displaystyle frac dy dx left frac dy du right u g h a cdot left frac du dv right v h a cdot left frac dv dx right x a nbsp atau singkatnya d y d x d y d u d u d v d v d x displaystyle frac dy dx frac dy du cdot frac du dv cdot frac dv dx nbsp Oleh karena itu fungsi turunannya adalah d y d x e sin x 2 cos x 2 2 x displaystyle frac dy dx e sin x 2 cdot cos x 2 cdot 2x nbsp Cara lain untuk menghitung turunan ini adalah dengan melihat fungsi komposit f g h sebagai gabungan dari f g dan h Menerapkan aturan rantai dengan cara ini akan menghasilkan f g h a f g h a h a f g h a g h a h a displaystyle f circ g circ h a f circ g h a cdot h a f g h a cdot g h a cdot h a nbsp sama dengan yang dihitung di atas hal ini harus diharapkan karena f g h f g h Terkadang perlu untuk membedakan komposisi bentuk yang sangat panjang f 1 f 2 f n 1 f n displaystyle f 1 circ f 2 circ cdots circ f n 1 circ f n nbsp Dalam kasus ini definisikan f a b f a f a 1 f b 1 f b displaystyle f a b f a circ f a 1 circ cdots circ f b 1 circ f b nbsp dimana f a a f a displaystyle f a a f a nbsp dan f a b x x displaystyle f a b x x nbsp ketika b lt a displaystyle b lt a nbsp Kemudian aturan rantai terbentuk D f 1 n D f 1 f 2 n D f 2 f 3 n D f n 1 f n n D f n k 1 n D f k f k 1 n displaystyle Df 1 n Df 1 circ f 2 n Df 2 circ f 3 n cdots Df n 1 circ f n n Df n prod k 1 n left Df k circ f k 1 n right nbsp atau dalam notasi Lagrange f 1 n x f 1 f 2 n x f 2 f 3 n x f n 1 f n n x f n x k 1 n f k f k 1 n x displaystyle f 1 n x f 1 left f 2 n x right f 2 left f 3 n x right cdots f n 1 left f n n x right f n x prod k 1 n f k left f k 1 n x right nbsp Kaidah hasil bagi Sunting Lihat pula Kaidah hasil bagi Kaidah rantai dapat digunakan untuk mendapatkan beberapa aturan diferensiasi yang terkenal Contohnya kaidah hasil bagi adalah konsekuensi dari aturan rantai dan aturan perkalian Untuk melihat ini tulis fungsinya f x g x sebagai produk f x 1 g x Pertama terapkan kaidah hasil kali d d x f x g x d d x f x 1 g x f x 1 g x f x d d x 1 g x displaystyle begin aligned frac d dx left frac f x g x right amp frac d dx left f x cdot frac 1 g x right amp f x cdot frac 1 g x f x cdot frac d dx left frac 1 g x right end aligned nbsp Untuk menghitung turunan 1 g x perhatikan bahwa itu adalah gabungan dari g dengan fungsi timbal balik yaitu fungsi yang mengirim x to 1 x Turunan dari fungsi timbal balik adalah 1 x 2 displaystyle 1 x 2 nbsp Dengan menerapkan aturan rantai ekspresi terakhir menjadi f x 1 g x f x 1 g x 2 g x f x g x f x g x g x 2 displaystyle f x cdot frac 1 g x f x cdot left frac 1 g x 2 cdot g x right frac f x g x f x g x g x 2 nbsp yang merupakan rumus umum untuk aturan hasil bagi Turunan dari fungsi invers Sunting Artikel utama Fungsi dan diferensiasi invers Turunan yang lebih tinggi Sunting Faa di Bruno s formula menggeneralisasi aturan rantai ke turunan yang lebih tinggi Berasumsi bahwa y f u dan u g x maka beberapa turunan pertamanya adalah d y d x d y d u d u d x d 2 y d x 2 d 2 y d u 2 d u d x 2 d y d u d 2 u d x 2 d 3 y d x 3 d 3 y d u 3 d u d x 3 3 d 2 y d u 2 d u d x d 2 u d x 2 d y d u d 3 u d x 3 d 4 y d x 4 d 4 y d u 4 d u d x 4 6 d 3 y d u 3 d u d x 2 d 2 u d x 2 d 2 y d u 2 4 d u d x d 3 u d x 3 3 d 2 u d x 2 2 d y d u d 4 u d x 4 displaystyle begin aligned frac dy dx amp frac dy du frac du dx 4pt frac d 2 y dx 2 amp frac d 2 y du 2 left frac du dx right 2 frac dy du frac d 2 u dx 2 4pt frac d 3 y dx 3 amp frac d 3 y du 3 left frac du dx right 3 3 frac d 2 y du 2 frac du dx frac d 2 u dx 2 frac dy du frac d 3 u dx 3 4pt frac d 4 y dx 4 amp frac d 4 y du 4 left frac du dx right 4 6 frac d 3 y du 3 left frac du dx right 2 frac d 2 u dx 2 frac d 2 y du 2 left 4 frac du dx frac d 3 u dx 3 3 left frac d 2 u dx 2 right 2 right frac dy du frac d 4 u dx 4 end aligned nbsp Bukti SuntingBukti pertama Sunting Salah satu bukti aturan rantai dimulai dengan definisi turunannya f g a lim x a f g x f g a x a displaystyle f circ g a lim x to a frac f g x f g a x a nbsp Asumsikan untuk saat itu g x displaystyle g x nbsp tidak sama g a displaystyle g a nbsp untuk apapun x dekat a Maka persamaan sebelumnya sama dengan hasil kali dua faktor lim x a f g x f g a g x g a g x g a x a displaystyle lim x to a frac f g x f g a g x g a cdot frac g x g a x a nbsp lt If g displaystyle g nbsp oscillates near a then it might happen that no matter how close one gets to a there is always an even closer x such that g x displaystyle g x nbsp equals g a displaystyle g a nbsp gt Contohnya ini terjadi untuk g x x2sin 1 x mendekati intinya a 0 Kapanpun ini terjadi ekspresi di atas tidak terdefinisi karena melibatkan pembagian dengan nol Untuk menyiasatinya perkenalkan sebuah fungsi Q displaystyle Q nbsp sebagai berikut Q y f y f g a y g a y g a f g a y g a displaystyle Q y begin cases frac f y f g a y g a amp y neq g a f g a amp y g a end cases nbsp Kami akan menunjukkan bahwa hasil bagi perbedaan f g selalu sama dengan Q g x g x g a x a displaystyle Q g x cdot frac g x g a x a nbsp 5 Bukti kedua Sunting Bukti ketiga SuntingKasus multivariabel SuntingGeneralisasi lebih lanjut SuntingBukti SuntingMisalkan fungsi f dengan y f u dan fungsi g dengan u g x masing masing terdiferensiasi di titik u u0 dan x x0 Maka y merupakan fungsi komposit dari x y f g x displaystyle y f circ g x nbsp Turunan y terhadap x di titik x0 dinyatakan sebagai d y d x x x 0 lim D x 0 f g x 0 D x f g x 0 D x displaystyle frac dy dx x x 0 lim Delta x to 0 frac f g x 0 Delta x f g x 0 Delta x nbsp Misalkan D u g x 0 D x g x 0 displaystyle Delta u g x 0 Delta x g x 0 nbsp dan u 0 g x 0 displaystyle u 0 g x 0 nbsp Untuk x 0 displaystyle x rightarrow 0 nbsp maka u 0 displaystyle u rightarrow 0 nbsp Dengan mensubstitusi kita dapat menuliskan d y d x x x 0 lim D x 0 f u 0 D u f u 0 D u D u D x displaystyle frac dy dx x x 0 lim Delta x to 0 left frac f u 0 Delta u f u 0 Delta u cdot frac Delta u Delta x right nbsp lim D u 0 f u 0 D u f u 0 D u lim D x 0 g x 0 D x g x 0 D x displaystyle left lim Delta u to 0 frac f u 0 Delta u f u 0 Delta u right left lim Delta x to 0 frac g x 0 Delta x g x 0 Delta x right nbsp d y d u u u 0 d u d x x x 0 displaystyle frac dy du u u 0 cdot frac du dx x x 0 nbsp Referensi Sunting a b Aturan Rantai dalam Notasi Leibniz oregonstate edu Diarsipkan dari versi asli tanggal 2019 07 25 Diakses tanggal 2019 07 28 George F Simmons Kalkulus dengan Geometri Analitik 1985 p 93 Rodriguez Omar Hernandez Lopez Fernandez Jorge M 2010 Refleksi Semiotik pada Didaktik Aturan Rantai Penggemar Matematika 7 2 321 332 Diakses tanggal 2019 08 04 Apostol Tom 1974 Analisis matematis edisi ke 2nd Addison Wesley Theorem 5 5 a b Kaidah Rantai untuk Turunan Math Vault dalam bahasa Inggris 2016 06 05 Diakses tanggal 2019 07 28 Pranala luar Sunting Inggris Inggris Weisstein Eric W Chain Rule MathWorld Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Kaidah rantai amp oldid 21259157