www.wikidata.id-id.nina.az

Teorema Apollonius Dalam geometri teorema Apollonius adalah suatu teorema yang mengaitkan panjang garis berat pada segit

Teorema Apollonius

Dalam geometri, teorema Apollonius adalah suatu teorema yang mengaitkan panjang garis berat pada segitiga dengan panjang sisi-sisinya. Teorema ini menyatakan bahwa "jumlah kuadrat dari dua sisi segitiga sama dengan dua kali dari kuadrat setengah sisi ketiga, digabung dengan dua kali dari kuadrat garis berat yang membagi sisi ketiga". Secara lebih formal, untuk suatu segitiga , jika merupakan sebuah garis berat, maka

Visualisasi dari teorema Apollonius, total luas persegi berwarna merah sama dengan dua kali lipat dari luas persegi panjang biru ditambah dengan luas persegi panjang hijau.
teorema Pythagoras adalah kasus khusus dari teorema Apollonius. Dalam ilustrasi ini, luas berwarna hijau akan sama akan sama dengan luas daerah berwarna merah

Teorema ini adalah sebuah kasus khusus dari teorema Stewart. Untuk segitiga sama kaki dengan , garis berat akan tegak lurus dengan , sehingga teorema tereduksi menjadi teorema Pythagoras untuk segitiga (atau segitiga ). Dari fakta bahwa diagonal-diagonal jajar genjang membagi satu sama lain, teorema Apollonius setara dengan hukum jajar genjang.

Teorema ini dinamai dari nama seorang matematikawan Yunani, Apollonius dari Perga.

Bukti sunting

Bukti teorema Apollonius

Teorema Apollonius dapat dibuktikan sebagai sebuah kasus khusus dari teorema Stewart, atau dapat dibuktikan menggunakan vektor (lihat hukum jajaran genjang). Berikut ini adalah bukti dengan menggunakan hukum kosinus.

Misalkan segitiga memiliki sisi , dengan sebuah garis berat digambar ke sisi . Misalkan menjadi panjang dari segmen yang dibentuk oleh garis berat, jadi besar adalah setengah dari . Misalkan pula sudut dibentuk di antara dan adalah dan , dengan menghadap ke sisi dan menghadap ke sisi . Sudut adalah sudut penggenap dari , (yakni, ) sehingga . Hukum kosinus untuk dan menyatakan bahwa

Menggabungkan persamaan yang ke pertama dan yang ketiga akan menghasilkan

yakni teorema Apollonius itu sendiri.

Referensi sunting

  1. Godfrey, Charles; Siddons, Arthur Warry (1908). Modern Geometry. University Press. hlm. 20. 

Pranala luar sunting

wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam geometri teorema Apollonius adalah suatu teorema yang mengaitkan panjang garis berat pada segitiga dengan panjang sisi sisinya Teorema ini menyatakan bahwa jumlah kuadrat dari dua sisi segitiga sama dengan dua kali dari kuadrat setengah sisi ketiga digabung dengan dua kali dari kuadrat garis berat yang membagi sisi ketiga Secara lebih formal untuk suatu segitiga ABC displaystyle ABC jika AD displaystyle AD merupakan sebuah garis berat makaVisualisasi dari teorema Apollonius total luas persegi berwarna merah sama dengan dua kali lipat dari luas persegi panjang biru ditambah dengan luas persegi panjang hijau AB 2 AC 2 2 AD 2 BD 2 displaystyle AB 2 AC 2 2 AD 2 BD 2 teorema Pythagoras adalah kasus khusus dari teorema Apollonius Dalam ilustrasi ini luas berwarna hijau akan sama akan sama dengan luas daerah berwarna merahTeorema ini adalah sebuah kasus khusus dari teorema Stewart Untuk segitiga sama kaki dengan AB AC displaystyle AB AC garis berat AD displaystyle AD akan tegak lurus dengan BC displaystyle BC sehingga teorema tereduksi menjadi teorema Pythagoras untuk segitiga ADB displaystyle ADB atau segitiga ADC displaystyle ADC Dari fakta bahwa diagonal diagonal jajar genjang membagi satu sama lain teorema Apollonius setara dengan hukum jajar genjang Teorema ini dinamai dari nama seorang matematikawan Yunani Apollonius dari Perga Bukti sunting nbsp Bukti teorema ApolloniusTeorema Apollonius dapat dibuktikan sebagai sebuah kasus khusus dari teorema Stewart atau dapat dibuktikan menggunakan vektor lihat hukum jajaran genjang Berikut ini adalah bukti dengan menggunakan hukum kosinus 1 Misalkan segitiga memiliki sisi a b c displaystyle a b c nbsp dengan sebuah garis berat d displaystyle d nbsp digambar ke sisi a displaystyle a nbsp Misalkan m displaystyle m nbsp menjadi panjang dari segmen a displaystyle a nbsp yang dibentuk oleh garis berat jadi besar m displaystyle m nbsp adalah setengah dari a displaystyle a nbsp Misalkan pula sudut dibentuk di antara a displaystyle a nbsp dan d displaystyle d nbsp adalah 8 displaystyle theta nbsp dan 8 displaystyle theta nbsp dengan 8 displaystyle theta nbsp menghadap ke sisi b displaystyle b nbsp dan 8 displaystyle theta nbsp menghadap ke sisi c displaystyle c nbsp Sudut 8 displaystyle theta nbsp adalah sudut penggenap dari 8 displaystyle theta nbsp yakni 8 8 180 displaystyle theta theta 180 circ nbsp sehingga cos 8 cos 8 displaystyle cos theta cos theta nbsp Hukum kosinus untuk 8 displaystyle theta nbsp dan 8 displaystyle theta nbsp menyatakan bahwa b2 m2 d2 2dmcos 8c2 m2 d2 2dmcos 8 m2 d2 2dmcos 8 displaystyle begin aligned b 2 amp m 2 d 2 2dm cos theta c 2 amp m 2 d 2 2dm cos theta amp m 2 d 2 2dm cos theta end aligned nbsp Menggabungkan persamaan yang ke pertama dan yang ketiga akan menghasilkan b2 c2 2 m2 d2 displaystyle b 2 c 2 2 m 2 d 2 nbsp yakni teorema Apollonius itu sendiri Referensi sunting Godfrey Charles Siddons Arthur Warry 1908 Modern Geometry University Press hlm 20 Pranala luar suntingApollonius Theorem di PlanetMath David B Surowski Advanced High School Mathematics hlm 27 Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Teorema Apollonius amp oldid 19699911