www.wikidata.id-id.nina.az

Lentera Schwarz Dalam matematika atau dikenal juga sebagai Bot Schwarz setelah matematikawan Hermann Schwarz adalah cont

Lentera Schwarz

Dalam matematika, Lentera Schwarz atau dikenal juga sebagai Bot Schwarz, setelah matematikawan Hermann Schwarz) adalah contoh patologis dari kesulitan menentukan luas bidang (lengkung) permukaan sebagai batas luas polihedra. Permukaan lengkung yang dimaksud adalah bagian dari tabung lingkar kanan. Pendekatan polihedral deskret dianggap memiliki sebagai "irisan" aksial. simpul ditempatkan secara radial di sepanjang setiap irisan pada jarak melingkar pada dari satu orang ke orang lainnya. Yang penting, simpul ditempatkan sehingga bergeser secara bertahap with each slice.

Lentera Schwarz dengan nilai sebagai irisan aksial dan simpul radial.

Hermann Schwarz menunjukkan hasil penemuan pada tahun 1880 bahwa peningkatan tersebut tidak cukup dan bila kita ingin luas permukaan dari polihedron menyatu dengan luas permukaan dari permukaan lengkung. Tergantung pada hubungan dan luas lentera dapat menyatu dengan luas tabung, hingga batas sewenang-wenang lebih besar dari luas tabung, hingga tak terbatas atau dengan kata lain menyimpang. Jadi, lentera Schwarz menunjukkan bahwa hanya menghubungkan simpul tertulis tidak cukup untuk memastikan konvergensi luas permukaan.

Animation of Schwarz lantern convergence (or lack thereof) for various refinement strategies.

Permukaan polihedral memiliki kemiripan dengan lentera kertas pada tabung.

Jumlah sudut di setiap titik sama dengan dua sudut datar ( radian). Konsekuensinya, lentera Schwarz dapat dilipat dari selembar kertas datar.

Hubungan dengan panjang busur dan luas permukaan sunting

Dalam karya Archimedes sudah tampak bahwa panjang lingkaran dapat diperkirakan dengan panjang polihedra biasa yang tertulis atau dibatasi dalam lingkaran. Secara umum, untuk kehalusan atau kurva yang dapat diperbaiki panjangnya dapat didefinisikan sebagai supremum dari panjang kurva poligonal yang tertulis di dalamnya. Lentera Schwarz menunjukkan bahwa luas permukaan tidak dapat didefinisikan sebagai supremum permukaan polihedral tertulis.

Sejarah sunting

Schwarz merancang konstruksinya sebagai contoh berlawanan dengan definisi yang keliru pada J. A. Serret pada buku berjudul Cours de calcul differentiel et integral, jilid kedua, halaman 296 edisi pertama atau halaman 298 edisi kedua, yang berbunyi:

Soit une portion de surface courbe terminee par un contour ; nous nommerons aire de cette surface la limite vers laquelle tend l'aire d'une surface polyedrale inscrite formee de faces triangulaires et terminee par un contour polygonal ayant pour limite le contour .

Il faut demontrer que la limite existe et qu'elle est independante de la loi suivant laquelle decroissent les faces de la surface polyedrale inscrite'.

Dalam Bahasa Indonesia

Biarkan sebagian permukaan lengkung berakhir dengan sebuah kontur ; kami akan menyebut luas permukaan ini sebagai batas ke arah mana luas permukaan polihedron tertulis membentuk wajah segitiga dan diakhiri dengan kontur poligonal yang batasnya adalah kontur .

Harus ditunjukkan bahwa batas ada dan tidak tergantung pada hukum yang menurutnya mengurangi permukaan polihedral yang tertulis.

Terlepas dari Schwarz, Giuseppe Peano menemukan counterexample yang sama ketika seorang murid gurunya Angelo Genocchi, yang sudah mengetahui tentang kesulitan dalam menentukan luas permukaan. Genocchi menginformasikan Charles Hermite, yang telah menggunakan definisi yang salah Serret dalam kursusnya. Setelah meminta rincian kepada Schwarz, Hermite merevisi kursusnya dan menerbitkan contoh tersebut di edisi kedua catatan kuliahnya (1883). Catatan asli dari Schwarz tidak diterbitkan sampai edisi kedua dari koleksi karyanya pada tahun 1890.

Batas luas sunting

Jari-jari tabung melingkar lurus dan tinggi dapat diparameterisasi dalam sistem koordinat kartesius menggunakan persamaan

untuk dan . Lentera Schwarz adalah polihedron dengan nilai pada wajah segitiga tertulis di tabung.

Simpul polihedron sesuai dalam parametrization ke titik

and the points

with dan . Semua wajah adalah isosceles segitiga kongruen satu sama lain. Alas dan tinggi masing-masing segitiga ini memiliki panjang

masing-masing. Maka ini memberikan total luas permukaan lentera Schwarz

Menyederhanakan sinus saat

Dari rumus ini dapat disimpulkan bahwa:

  1. Bila untuk beberapa hal yang konstan , maka ketika . Batas ini adalah luas permukaan silinder tempat lentera Schwarz diukir.

Catatan sunting

  1. M. Berger, Geometry I, Springer-Verlag, 1994, p. 263

Referensi sunting

  • Schwarz, H. A. (1890). Gesammelte Mathematische Abhandlungen von H. A. Schwarz. Verlag von Julius Springer. hlm. 309–311. 
  • Dubrovsky, Vladimir (1991). "In search of a definition of surface area". Quantum. hlm. 6–9 and 64. 

Pranala luar sunting

wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam matematika Lentera Schwarz atau dikenal juga sebagai Bot Schwarz setelah matematikawan Hermann Schwarz adalah contoh patologis dari kesulitan menentukan luas bidang lengkung permukaan sebagai batas luas polihedra Permukaan lengkung yang dimaksud adalah bagian dari tabung lingkar kanan Pendekatan polihedral deskret dianggap memiliki 2 n displaystyle 2n sebagai irisan aksial 2 m displaystyle 2m simpul ditempatkan secara radial di sepanjang setiap irisan pada jarak melingkar pada p m displaystyle pi m dari satu orang ke orang lainnya Yang penting simpul ditempatkan sehingga bergeser secara bertahap p 2 m displaystyle pi 2m with each slice Lentera Schwarz dengan nilai 2 n 6 displaystyle 2n 6 sebagai irisan aksial dan 2 m 10 displaystyle 2m 10 simpul radial Hermann Schwarz menunjukkan hasil penemuan pada tahun 1880 bahwa peningkatan tersebut tidak cukup m displaystyle m dan n displaystyle n bila kita ingin luas permukaan dari polihedron menyatu dengan luas permukaan dari permukaan lengkung 1 Tergantung pada hubungan m displaystyle m dan n displaystyle n luas lentera dapat menyatu dengan luas tabung hingga batas sewenang wenang lebih besar dari luas tabung hingga tak terbatas atau dengan kata lain menyimpang Jadi lentera Schwarz menunjukkan bahwa hanya menghubungkan simpul tertulis tidak cukup untuk memastikan konvergensi luas permukaan Animation of Schwarz lantern convergence or lack thereof for various refinement strategies Permukaan polihedral memiliki kemiripan dengan lentera kertas pada tabung Jumlah sudut di setiap titik sama dengan dua sudut datar 2 p displaystyle 2 pi radian Konsekuensinya lentera Schwarz dapat dilipat dari selembar kertas datar Daftar isi 1 Hubungan dengan panjang busur dan luas permukaan 2 Sejarah 3 Batas luas 4 Catatan 5 Referensi 6 Pranala luarHubungan dengan panjang busur dan luas permukaan suntingDalam karya Archimedes sudah tampak bahwa panjang lingkaran dapat diperkirakan dengan panjang polihedra biasa yang tertulis atau dibatasi dalam lingkaran Secara umum untuk kehalusan atau kurva yang dapat diperbaiki panjangnya dapat didefinisikan sebagai supremum dari panjang kurva poligonal yang tertulis di dalamnya Lentera Schwarz menunjukkan bahwa luas permukaan tidak dapat didefinisikan sebagai supremum permukaan polihedral tertulis Sejarah suntingSchwarz merancang konstruksinya sebagai contoh berlawanan dengan definisi yang keliru pada J A Serret pada buku berjudul Cours de calcul differentiel et integral jilid kedua halaman 296 edisi pertama atau halaman 298 edisi kedua yang berbunyi Soit une portion de surface courbe terminee par un contour C displaystyle C nbsp nous nommerons aire de cette surface la limite S displaystyle S nbsp vers laquelle tend l aire d une surface polyedrale inscrite formee de faces triangulaires et terminee par un contour polygonal G displaystyle Gamma nbsp ayant pour limite le contour C displaystyle C nbsp Il faut demontrer que la limite S displaystyle S nbsp existe et qu elle est independante de la loi suivant laquelle decroissent les faces de la surface polyedrale inscrite Dalam Bahasa Indonesia Biarkan sebagian permukaan lengkung berakhir dengan sebuah kontur C displaystyle C nbsp kami akan menyebut luas permukaan ini sebagai batas S displaystyle S nbsp ke arah mana luas permukaan polihedron tertulis membentuk wajah segitiga dan diakhiri dengan kontur poligonal G displaystyle Gamma nbsp yang batasnya adalah kontur C displaystyle C nbsp Harus ditunjukkan bahwa batas S displaystyle S nbsp ada dan tidak tergantung pada hukum yang menurutnya mengurangi permukaan polihedral yang tertulis Terlepas dari Schwarz Giuseppe Peano menemukan counterexample yang sama ketika seorang murid gurunya Angelo Genocchi yang sudah mengetahui tentang kesulitan dalam menentukan luas permukaan Genocchi menginformasikan Charles Hermite yang telah menggunakan definisi yang salah Serret dalam kursusnya Setelah meminta rincian kepada Schwarz Hermite merevisi kursusnya dan menerbitkan contoh tersebut di edisi kedua catatan kuliahnya 1883 Catatan asli dari Schwarz tidak diterbitkan sampai edisi kedua dari koleksi karyanya pada tahun 1890 Batas luas suntingJari jari tabung melingkar lurus r displaystyle r nbsp dan tinggi t displaystyle t nbsp dapat diparameterisasi dalam sistem koordinat kartesius menggunakan persamaan x r cos u displaystyle x r cos u nbsp y r sin u displaystyle y r sin u nbsp z v displaystyle z v nbsp untuk 0 u 2 p displaystyle 0 leq u leq 2 pi nbsp dan 0 v h displaystyle 0 leq v leq h nbsp Lentera Schwarz adalah polihedron dengan nilai 4 m n displaystyle 4mn nbsp pada wajah segitiga tertulis di tabung Simpul polihedron sesuai dalam parametrization ke titik u 2 m p m displaystyle u frac 2 mu pi m nbsp v n h n displaystyle v frac nu h n nbsp and the points u 2 m 1 p m displaystyle u frac 2 mu 1 pi m nbsp v 2 n 1 h 2 n displaystyle v frac 2 nu 1 h 2n nbsp with m 0 1 2 m 1 displaystyle mu 0 1 2 ldots m 1 nbsp dan n 0 1 2 n 1 displaystyle nu 0 1 2 ldots n 1 nbsp Semua wajah adalah isosceles segitiga kongruen satu sama lain Alas dan tinggi masing masing segitiga ini memiliki panjang 2 r sin p m dan r 2 1 cos p m 2 h 2 n 2 displaystyle 2r sin left frac pi m right text dan sqrt r 2 left 1 cos left frac pi m right right 2 left frac h 2n right 2 nbsp masing masing Maka ini memberikan total luas permukaan lentera Schwarz S m n 4 m n r sin p m 4 r 2 sin 4 p 2 m h 2 n 2 displaystyle S m n 4mnr sin left frac pi m right sqrt 4r 2 sin 4 left frac pi 2m right left frac h 2n right 2 nbsp Menyederhanakan sinus saat m displaystyle m to infty nbsp S m n 4 p n r p 2 r 2 m 2 2 h 2 n 2 2 p r p 2 r n m 2 2 h 2 displaystyle S m n simeq 4 pi nr sqrt left frac pi 2 r 2m 2 right 2 left frac h 2n right 2 2 pi r sqrt left pi 2 r frac n m 2 right 2 h 2 nbsp Dari rumus ini dapat disimpulkan bahwa Bila n a m displaystyle n am nbsp untuk beberapa hal yang konstan a displaystyle a nbsp maka S m a m 2 p r h displaystyle S m am to 2 pi rh nbsp ketika m displaystyle m to infty nbsp Batas ini adalah luas permukaan silinder tempat lentera Schwarz diukir Catatan sunting M Berger Geometry I Springer Verlag 1994 p 263Referensi suntingSchwarz H A 1890 Gesammelte Mathematische Abhandlungen von H A Schwarz Verlag von Julius Springer hlm 309 311 Dubrovsky Vladimir 1991 In search of a definition of surface area Quantum hlm 6 9 and 64 Pranala luar suntinghttps www cut the knot org Outline Calculus SchwarzLantern shtml Article in Schwarz collected works V Dubrovsky s article Frieda Zames article Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Lentera Schwarz amp oldid 17542734