Barisan dan deret geometri atau dikenal sebagai barisan dan deret ukur dalam bidang matematika adalah jenis barisan dan deret di mana bilangan berikutnya merupakan perkalian dari bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan rasio tertentu Dengan kata lain suatu barisan geometri hasil bagi atau rasio setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama 1 Barisan geometri dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut a displaystyle a ar displaystyle ar ar2 displaystyle ar 2 ar3 displaystyle ar 3 displaystyle dots dengan r displaystyle r adalah bilangan rasio pengali r 0 displaystyle r neq 0 dan a displaystyle a adalah faktor skala Daftar isi 1 Suku barisan geometri 1 1 Rasio 1 2 Suku tengah 2 Deret geometri 2 1 Deret geometri takhingga 3 Barisan dan deret geometri bertingkat 4 Lihat pula 5 Referensi 6 Bacaan lebih lanjutSuku barisan geometri suntingMisal an displaystyle a n nbsp adalah suku barisan geometri Pada barisan di atas dapat kita rumuskan sebagai an arn 1 displaystyle a n ar n 1 nbsp BuktiKita misalkan a1 a displaystyle a 1 a nbsp dan a2 ar displaystyle a 2 ar nbsp Kita teruskan untuk a3 a4 displaystyle a 3 a 4 dots nbsp a3 ar2a4 ar3a5 ar4 displaystyle begin aligned a 3 amp ar 2 a 4 amp ar 3 a 5 amp ar 4 amp vdots end aligned nbsp Dari kumpulan persamaan di atas kita mendapati pola yaitu an arn 1 displaystyle a n ar n 1 nbsp 1 Lebih umumnya diberikan n gt m displaystyle n gt m nbsp dan misal suku awal adalah am displaystyle a m nbsp Dari hasil di atas diperoleh am arm 1 displaystyle a m ar m 1 nbsp dan an arn 1 arm 1rn m amrn m displaystyle a n ar n 1 ar m 1 r n m a m r n m nbsp 1 Rasio sunting Rasio adalah hasil bagi antara dua suku Secara matematis dirumuskan r an 1an displaystyle r frac a n 1 a n nbsp Suku tengah sunting am n2 aman displaystyle a frac m n 2 sqrt a m a n nbsp Deret geometri suntingDeret geometri atau deret ukur ialah deret di mana suku pada barisan geometri dijumlahkan maka didapati Sn a rn 1 r 1 jika r gt 1a 1 rn 1 r jika r lt 1 displaystyle S n begin cases frac a r n 1 r 1 amp text jika r gt 1 frac a 1 r n 1 r amp text jika r lt 1 end cases nbsp dengan Sn displaystyle S n nbsp adalah deret geometri dan a displaystyle a nbsp adalah suku pertama Bukti deret geometriKita mulai dari kasus di mana r lt 1 displaystyle r lt 1 nbsp Sn a ar1 ar2 arn 2 arn 1 displaystyle S n a a r 1 a r 2 cdots a r n 2 a r n 1 nbsp 1 dd Dengan mengalikan kedua ruas dengan r displaystyle r nbsp memperoleh persamaan baru rSn ar1 ar2 ar3 arn 1 arn displaystyle rS n ar 1 ar 2 ar 3 cdots ar n 1 ar n nbsp 2 dd Persamaan 1 mengurangi 2 menghasilkan Sn rSn a arn displaystyle S n rS n a ar n nbsp Dengan menggunakan sifat distributif dan membagi kedua ruas dengan 1 r displaystyle 1 r nbsp membuktikan bahwa Sn a 1 rn 1 r displaystyle S n frac a 1 r n 1 r nbsp 2 Cara yang serupa untuk kasus r gt 1 displaystyle r gt 1 nbsp displaystyle blacksquare nbsp Jika r 1 displaystyle r 1 nbsp maka deret geometri didapati Sn na displaystyle S n na nbsp 2 Deret geometri takhingga sunting Artikel utama Deret geometrik nbsp Diagram yang menunjukkan jumlah 1 12 14 18 displaystyle 1 frac 1 2 frac 1 4 frac 1 8 cdots nbsp adalah mendekati 2 displaystyle 2 nbsp Untuk deret geometri dengan tak terhingganya banyak suku kita rumuskanS a1 r displaystyle S infty frac a 1 r nbsp untuk r lt 1 displaystyle r lt 1 nbsp Sebagai contoh pada diagram di samping kanan diketahui bahwa suku awal yakni persegi terbesar adalah a 1 displaystyle a 1 nbsp serta r 12 displaystyle r frac 1 2 nbsp Dengan menggunakan rumus di atas maka jumlah keseluruhan pada diagram di samping adalah S 11 12 12 12 112 2 displaystyle S infty frac 1 1 frac 1 2 frac 1 frac 2 1 2 frac 1 frac 1 2 2 nbsp Bukti deret geometri kasus r lt 1 displaystyle r lt 1 nbsp nbsp Visualisasi yang menunjukkan cara lain untuk membuktikan deret geometri Karena Sn i 1nari 1 displaystyle S n sum i 1 n ar i 1 nbsp maka diperoleh Sn a 1 rn 1 r displaystyle S n frac a 1 r n 1 r nbsp Ambil n displaystyle n to infty nbsp pada kedua ruas diperoleh S limn a 1 rn 1 r a1 rlimn 1 rn displaystyle begin aligned S infty amp lim n to infty frac a 1 r n 1 r amp frac a 1 r lim n to infty 1 r n end aligned nbsp Karena diketahui r lt 1 displaystyle r lt 1 nbsp maka limn 1 rn 1 displaystyle lim n to infty 1 r n 1 nbsp Karena itu S a1 r displaystyle S infty frac a 1 r nbsp displaystyle blacksquare nbsp 3 Untuk kasus r gt 1 displaystyle r gt 1 nbsp S displaystyle S infty nbsp tidak mempunyai hasil karena bernilai displaystyle pm infty nbsp sehingga deretnya dapat dikatakan divergen 4 5 Barisan dan deret geometri bertingkat suntingBagian ini memerlukan pengembangan Anda dapat membantu dengan mengembangkannya Jika bertingkat 2 an an2 bn c displaystyle a n a n 2 b n c nbsp Jika bertingkat 3 an an3 bn2 cn d displaystyle a n a n 3 b n 2 c n d nbsp dstLihat pula suntingBarisan Deret matematika Barisan dan deret aritmetika 1 2 1 4 1 8 1 16 salah satu bentuk deretReferensi sunting a b c Sahid MSc Kalkulus Lanjutan hlm 10 a b Drs Win Konadi M Si Barisan dan Deret Geometri serta Contoh Soal Sahid MSc Kalkulus Lanjutan hlm 12 13 Sahid MSc Kalkulus Lanjutan hlm 12 H Karso Barisan dan Deret hlm 14 Bacaan lebih lanjut suntingKurnianingsih Sri 2007 Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPA Jakarta Esis Erlangga ISBN 979 734 505 X Parameter coauthors yang tidak diketahui mengabaikan author yang disarankan bantuan Indonesia Kurnianingsih Sri 2007 Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPS Jakarta Esis Erlangga ISBN 979 734 568 8 Parameter coauthors yang tidak diketahui mengabaikan author yang disarankan bantuan Indonesia Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Barisan dan deret geometri amp oldid 22959446 Deret geometri
