Bagian ini memerlukan pengembangan Anda dapat membantu dengan mengembangkannya Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu waktu Cari sumber Vektor satuan berita surat kabar buku cendekiawan JSTORVektor satuan adalah suatu vektor yang ternormalisasi yang berarti panjangnya bernilai 1 Umumnya dituliskan dalam menggunakan topi bahasa Inggris Hat sehingga u displaystyle hat u dibaca u topi u hat Suatu vektor ternormalisasi u displaystyle hat u dari suatu vektor u bernilai tidak nol adalah suatu vektor yang berarah sama dengan u yaitu u u u displaystyle mathbf hat u frac mathbf u mathbf u di mana u adalah norma atau panjangatau besar dari u Istilah vektor ternormalisasi kadang kadang digunakan sebagai sinonim dari vektor satuan Dalam gaya penulisan yang lain tidak menggunakan huruf tebal adalah dengan menggunakan panah di atas suatu variabel yaitu u u u u u displaystyle hat u frac vec u vec u frac vec u u Di sini u displaystyle vec u adalah vektor yang dimaksud dan u displaystyle u adalah besarnya Daftar isi 1 Vektor 1 1 Posisi vektor 1 2 Panjang vektor 1 3 Vektor satuan 1 4 Operasi aljabar pada vektor 1 5 Sifat operasi aljabar pada vektor 1 6 Hubungan vektor dengan vektor lain 1 7 Sudut dua vektor 1 8 Panjang proyeksi dan proyeksi vektor 1 9 Metode 1 10 Perbandingan 2 Transformasi 2 1 Translasi 2 2 Refleksi 2 3 Rotasi 2 4 Dilatasi 2 5 Stretching 2 6 Shearing 3 Lihat pulaVektor SuntingArtikel utama Vektor matematika Posisi vektor Sunting a a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 i a 2 j displaystyle vec a a 1 a 2 begin pmatrix a 1 a 2 end pmatrix a 1 hat i a 2 hat j a a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 a 3 a 1 i a 2 j a 3 k displaystyle vec a a 1 a 2 a 3 begin pmatrix a 1 a 2 a 3 end pmatrix a 1 hat i a 2 hat j a 3 hat k Panjang vektor Sunting Berada di R 2 displaystyle R 2 Panjang vektor a dalam posisi a 1 a 2 displaystyle a 1 a 2 adalah a a 1 2 a 2 2 displaystyle left vec a right sqrt a 1 2 a 2 2 Panjang vektor b dalam posisi b 1 b 2 displaystyle b 1 b 2 adalah b b 1 2 b 2 2 displaystyle left vec b right sqrt b 1 2 b 2 2 Panjang vektor c dalam posisi a 1 a 2 displaystyle a 1 a 2 dan b 1 b 2 displaystyle b 1 b 2 adalah c b 1 a 1 2 b 2 a 2 2 displaystyle left vec c right sqrt b 1 a 1 2 b 2 a 2 2 Berada di R 3 displaystyle R 3 Panjang vektor a dalam posisi a 1 a 2 a 3 displaystyle a 1 a 2 a 3 adalah a a 1 2 a 2 2 a 3 2 displaystyle left vec a right sqrt a 1 2 a 2 2 a 3 2 Panjang vektor b dalam posisi b 1 b 2 b 3 displaystyle b 1 b 2 b 3 adalah b b 1 2 b 2 2 b 3 2 displaystyle left vec b right sqrt b 1 2 b 2 2 b 3 2 Panjang vektor c dalam posisi a 1 a 2 a 3 displaystyle a 1 a 2 a 3 dan b 1 b 2 b 3 displaystyle b 1 b 2 b 3 adalah c b 1 a 1 2 b 2 a 2 2 b 3 a 3 2 displaystyle left vec c right sqrt b 1 a 1 2 b 2 a 2 2 b 3 a 3 2 Jumlah dan selisih kedua vektor a b a 2 b 2 2 a b c o s C displaystyle left vec a pm vec b right sqrt vec a 2 vec b 2 pm 2 vec a cdot vec b cdot cosC Vektor satuan Sunting a a a displaystyle hat a frac vec a left vec a right Operasi aljabar pada vektor Sunting Penjumlahan dan penguranganterdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang c a b a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 1 a 2 b 2 displaystyle vec c vec a vec b begin pmatrix a 1 a 2 end pmatrix begin pmatrix b 1 b 2 end pmatrix begin pmatrix a 1 b 1 a 2 b 2 end pmatrix c a b a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 1 a 2 b 2 displaystyle vec c vec a vec b begin pmatrix a 1 a 2 end pmatrix begin pmatrix b 1 b 2 end pmatrix begin pmatrix a 1 b 1 a 2 b 2 end pmatrix Perkalianskalar dengan vektorJika k skalar tak nol dan vektor a a 1 i a 2 j a 3 k displaystyle vec a a 1 hat i a 2 hat j a 3 hat k maka vektor k a k a 1 k a 2 k a 3 displaystyle k vec a ka 1 ka 2 ka 3 titik dua vektorJika vektor a a 1 i a 2 j a 3 k displaystyle vec a a 1 hat i a 2 hat j a 3 hat k dan vektor b b 1 i b 2 j b 3 k displaystyle vec b b 1 hat i b 2 hat j b 3 hat k maka a b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 displaystyle vec a cdot vec b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 titik dua vektor dengan membentuk sudutJika a displaystyle vec a dan b displaystyle vec b vektor tak nol dan sudut a displaystyle alpha diantara vektor a displaystyle vec a dan b displaystyle vec b maka perkalian skalar vektor a displaystyle vec a dan b displaystyle vec b adalah a b displaystyle vec a cdot vec b a b c o s a displaystyle left vec a right cdot left vec b right cos alpha silang dua vektorJika vektor a a 1 i a 2 j a 3 k displaystyle vec a a 1 hat i a 2 hat j a 3 hat k dan vektor b b 1 i b 2 j b 3 k displaystyle vec b b 1 hat i b 2 hat j b 3 hat k maka a b a 2 b 3 i a 3 b 1 j a 1 b 2 k a 2 b 1 k a 3 b 2 i a 1 b 3 j displaystyle vec a times vec b a 2 b 3 hat i a 3 b 1 hat j a 1 b 2 hat k a 2 b 1 hat k a 3 b 2 hat i a 1 b 3 hat j i j k i j a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 b 1 b 2 b 3 b 1 b 2 displaystyle left begin array rrr rr hat i amp hat j amp hat k amp hat i amp hat j a 1 amp a 2 amp a 3 amp a 1 amp a 2 b 1 amp b 2 amp b 3 amp b 1 amp b 2 end array right silang dua vektor dengan membentuk sudutJika a displaystyle vec a dan b displaystyle vec b vektor tak nol dan sudut a displaystyle alpha diantara vektor a displaystyle vec a dan b displaystyle vec b maka perkalian skalar vektor a displaystyle vec a dan b displaystyle vec b adalah a b displaystyle vec a times vec b a b s i n a displaystyle left vec a right times left vec b right sin alpha Sifat operasi aljabar pada vektor Sunting a b b a displaystyle vec a vec b vec b vec a a b c a b c displaystyle vec a vec b vec c vec a vec b vec c a 0 0 a displaystyle vec a 0 0 vec a k a b k a k b displaystyle k vec a vec b k vec a k vec b k l a k a l a displaystyle k l vec a k vec a l vec a a a 0 displaystyle vec a vec a 0 a b b a displaystyle vec a cdot vec b vec b cdot vec a a b c a b c displaystyle vec a cdot vec b cdot vec c vec a cdot vec b cdot vec c a 1 1 a displaystyle vec a cdot 1 1 cdot vec a k a b k a b a k b displaystyle k vec a cdot vec b k vec a cdot vec b vec a cdot k vec b k l a k l a displaystyle k cdot l vec a k l cdot vec a a a a 2 displaystyle vec a cdot vec a left vec a right 2 a b b a displaystyle vec a times vec b neq vec b times vec a a b b a displaystyle vec a times vec b vec b times vec a a b c a b c displaystyle vec a times vec b times vec c neq vec a times vec b times vec c a b c b c a c a b displaystyle vec a cdot vec b times vec c vec b cdot vec c times vec a vec c cdot vec a times vec b a b c a b a c displaystyle vec a times vec b vec c vec a times vec b vec a times vec c k a b k a b a k b displaystyle k vec a times vec b k vec a times vec b vec a times k vec b Hubungan vektor dengan vektor lain Sunting Perkalian titikSaling tegak lurusJika tegak lurus antara vektor a displaystyle vec a dengan vektor b displaystyle vec b maka a b a b cos 90 displaystyle vec a cdot vec b left vec a right cdot left vec b right cos 90 circ a b 0 displaystyle vec a cdot vec b 0 SejajarJika vektor a displaystyle vec a sejajar dengan vektor b displaystyle vec b maka a b a b cos 0 displaystyle vec a cdot vec b left vec a right cdot left vec b right cos 0 circ a b a b displaystyle vec a cdot vec b left vec a right cdot left vec b right a b a b cos 180 displaystyle vec a cdot vec b left vec a right cdot left vec b right cos 180 circ a b a b displaystyle vec a cdot vec b left vec a right cdot left vec b right Perkalian silangSaling tegak lurusJika tegak lurus antara vektor a displaystyle vec a dengan vektor b displaystyle vec b maka a b a b sin 90 displaystyle vec a times vec b left vec a right cdot left vec b right sin 90 circ a b a b displaystyle vec a times vec b left vec a right cdot left vec b right a b a b sin 270 displaystyle vec a times vec b left vec a right cdot left vec b right sin 270 circ a b a b displaystyle vec a times vec b left vec a right cdot left vec b right Jika b gt 90 displaystyle beta gt 90 circ maka dua vektor tersebut searahJika b lt 90 displaystyle beta lt 90 circ maka vektor saling berlawanan arah SejajarJika vektor a displaystyle vec a sejajar dengan vektor b displaystyle vec b maka a b a b sin 0 displaystyle vec a times vec b left vec a right cdot left vec b right sin 0 circ a b 0 displaystyle vec a times vec b 0 Sudut dua vektor Sunting Jika vektor a displaystyle vec a dan vektor b displaystyle vec b sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah c o s a a b a b displaystyle cos alpha frac vec a cdot vec b left vec a right cdot left vec b right Panjang proyeksi dan proyeksi vektor Sunting Panjang proyeksi vektor a displaystyle vec a pada vektor b displaystyle vec b adalah c a b b displaystyle left vec c right frac vec a cdot vec b left vec b right Proyeksi vektor a displaystyle vec a pada vektor b displaystyle vec b adalah c a b b 2 b displaystyle vec c frac vec a cdot vec b left vec b right 2 cdot vec b Metode Sunting segitiga R a b displaystyle vec R vec a vec b jajar genjang R a b a 2 b 2 2 a b c o s C displaystyle vec R vec a vec b sqrt vec a 2 vec b 2 2 cdot vec a cdot vec b cdot cosC Perbandingan Sunting Aturan jajar genjang Posisi vektor N m s n r m n displaystyle vec N frac ms nr m n Berada di R 2 displaystyle R 2 N m x 2 n x 1 m n m y 2 n y 1 m n displaystyle vec N frac mx 2 nx 1 m n frac my 2 ny 1 m n Berada di R 3 displaystyle R 3 N m x 2 n x 1 m n m y 2 n y 1 m n m z 2 n z 1 m n displaystyle vec N frac mx 2 nx 1 m n frac my 2 ny 1 m n frac mz 2 nz 1 m n Satu garisPerbandingan posisi dalam adalah m nPosisi vektorN m s n r m n displaystyle vec N frac ms nr m n dd Berada di R 2 displaystyle R 2 N m x 2 n x 1 m n m y 2 n y 1 m n displaystyle vec N frac mx 2 nx 1 m n frac my 2 ny 1 m n dd Berada di R 3 displaystyle R 3 N m x 2 n x 1 m n m y 2 n y 1 m n m z 2 n z 1 m n displaystyle vec N frac mx 2 nx 1 m n frac my 2 ny 1 m n frac mz 2 nz 1 m n dd Perbandingan posisi luar adalah m nPosisi vektorN m s n r m n displaystyle vec N frac ms nr m n dd Berada di R 2 displaystyle R 2 N m x 2 n x 1 m n m y 2 n y 1 m n displaystyle vec N frac mx 2 nx 1 m n frac my 2 ny 1 m n dd Berada di R 3 displaystyle R 3 N m x 2 n x 1 m n m y 2 n y 1 m n m z 2 n z 1 m n displaystyle vec N frac mx 2 nx 1 m n frac my 2 ny 1 m n frac mz 2 nz 1 m n dd Transformasi SuntingArtikel utama Matriks Transformasi Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu Transformasi isometriTransformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya Contohnya translasi penggeseran refleksi perpindahan dan rotasi perputaran Transformasi nonisometriTransformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya Contohnya dilatasi perubahan stretching regangan dan shearing gusuran Translasi Sunting Rumus translasi adalah x y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix a b displaystyle begin pmatrix a b end pmatrix x y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix Refleksi Sunting Rumus refleksi adalah tanpa titik pusat x y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix c o s 2 a s i n 2 a s i n 2 a c o s 2 a displaystyle begin pmatrix cos2 alpha amp sin2 alpha sin2 alpha amp cos2 alpha end pmatrix x y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix dengan titik pusat a b x y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix c o s 2 a s i n 2 a s i n 2 a c o s 2 a displaystyle begin pmatrix cos2 alpha amp sin2 alpha sin2 alpha amp cos2 alpha end pmatrix x a y b displaystyle begin pmatrix x a y b end pmatrix a b displaystyle begin pmatrix a b end pmatrix Rotasi Sunting Rumus rotasi adalah tanpa titik pusat x y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix c o s a s i n a s i n a c o s a displaystyle begin pmatrix cos alpha amp sin alpha sin alpha amp cos alpha end pmatrix x y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix dengan titik pusat a b x y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix c o s a s i n a s i n a c o s a displaystyle begin pmatrix cos alpha amp sin alpha sin alpha amp cos alpha end pmatrix x a y b displaystyle begin pmatrix x a y b end pmatrix a b displaystyle begin pmatrix a b end pmatrix Dilatasi Sunting Rumus dilatasi adalah tanpa titik pusat x y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix k 0 0 k displaystyle begin pmatrix k amp 0 0 amp k end pmatrix x y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix dengan titik pusat a b x y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix k 0 0 k displaystyle begin pmatrix k amp 0 0 amp k end pmatrix x a y b displaystyle begin pmatrix x a y b end pmatrix a b displaystyle begin pmatrix a b end pmatrix Stretching Sunting Rumus stretching adalah sumbu xtanpa titik pusat dd x y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix k 0 0 1 displaystyle begin pmatrix k amp 0 0 amp 1 end pmatrix x y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix dengan titik pusat a b x y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix k 0 0 1 displaystyle begin pmatrix k amp 0 0 amp 1 end pmatrix x a y b displaystyle begin pmatrix x a y b end pmatrix a b displaystyle begin pmatrix a b end pmatrix sumbu ytanpa titik pusat dd x y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix 1 0 0 k displaystyle begin pmatrix 1 amp 0 0 amp k end pmatrix x y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix dengan titik pusat a b x y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix 1 0 0 k displaystyle begin pmatrix 1 amp 0 0 amp k end pmatrix x a y b displaystyle begin pmatrix x a y b end pmatrix a b displaystyle begin pmatrix a b end pmatrix Shearing Sunting Rumus shearing adalah sumbu xtanpa titik pusat dd x y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix 1 k 0 1 displaystyle begin pmatrix 1 amp k 0 amp 1 end pmatrix x y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix dengan titik pusat a b x y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix 1 k 0 1 displaystyle begin pmatrix 1 amp k 0 amp 1 end pmatrix x a y b displaystyle begin pmatrix x a y b end pmatrix a b displaystyle begin pmatrix a b end pmatrix sumbu ytanpa titik pusat dd x y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix 1 0 k 1 displaystyle begin pmatrix 1 amp 0 k amp 1 end pmatrix x y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix dengan titik pusat a b x y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix 1 0 k 1 displaystyle begin pmatrix 1 amp 0 k amp 1 end pmatrix x a y b displaystyle begin pmatrix x a y b end pmatrix a b displaystyle begin pmatrix a b end pmatrix Rumus sederhanaKeterangan Posisi HasilTranslasipenggeseran a b x y displaystyle x y x a y b displaystyle x a y b Refleksisumbu x 0 x y displaystyle x y x y displaystyle x y sumbu y 90 x y displaystyle x y x y displaystyle x y y x 45 x y displaystyle x y y x displaystyle y x y x 135 x y displaystyle x y y x displaystyle y x pusat 0 0 0 dan 90 x y displaystyle x y x y displaystyle x y pusat a b 0 dan 90 x y displaystyle x y 2 a x 2 b y displaystyle 2a x 2b y pusat a 0 0 dan 90 x y displaystyle x y 2 a x y displaystyle 2a x y pusat 0 b 0 dan 90 x y displaystyle x y x 2 b y displaystyle x 2b y Rotasiberpusat 0 0 90 x y displaystyle x y y x displaystyle y x 90 x y displaystyle x y y x displaystyle y x 180 x y displaystyle x y x y displaystyle x y berpusat a b 90 x y displaystyle x y y a b x a b displaystyle y a b x a b 90 x y displaystyle x y y a b x a b displaystyle y a b x a b 180 x y displaystyle x y x 2 a y 2 b displaystyle x 2a y 2b berpusat 0 0 Dilatasiskala k x y displaystyle x y k x k y displaystyle k cdot x k cdot y Stretchingsumbu x dan skala k x y displaystyle x y k x y displaystyle k cdot x y sumbu y dan skala k x y displaystyle x y x k y displaystyle x k cdot y Shearingsumbu x dan skala k x y displaystyle x y k x y y displaystyle k cdot x y y sumbu y dan skala k x y displaystyle x y x x k y displaystyle x x k cdot y berpusat a b Dilatasiskala k x y displaystyle x y k x 1 k a k y 1 k b displaystyle k cdot x 1 k a k cdot y 1 k b Stretchingsumbu x dan skala k x y displaystyle x y k x 1 k a y displaystyle k cdot x 1 k a y sumbu y dan skala k x y displaystyle x y x k y 1 k b displaystyle x k cdot y 1 k b Shearingsumbu x dan skala k x y displaystyle x y x k y b y displaystyle x k cdot y b y sumbu y dan skala k x y displaystyle x y x y k x a displaystyle x y k cdot x a Lihat pula SuntingTransformasi Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya lbs Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Vektor satuan amp oldid 23628599
