Artikel ini perlu diwikifikasi agar memenuhi standar kualitas Wikipedia Anda dapat memberikan bantuan berupa penambahan pranala dalam atau dengan merapikan tata letak dari artikel ini Untuk keterangan lebih lanjut klik tampil di bagian kanan Mengganti markah HTML dengan markah wiki bila dimungkinkan Tambahkan pranala wiki Bila dirasa perlu buatlah pautan ke artikel wiki lainnya dengan cara menambahkan dan pada kata yang bersangkutan lihat WP LINK untuk keterangan lebih lanjut Mohon jangan memasang pranala pada kata yang sudah diketahui secara umum oleh para pembaca seperti profesi istilah geografi umum dan perkakas sehari hari Sunting bagian pembuka Buat atau kembangkan bagian pembuka dari artikel ini Susun header artikel ini sesuai dengan pedoman tata letak Tambahkan kotak info bila jenis artikel memungkinkan Hapus tag templat ini Polinomial Hermite dalam matematika merupakan polinomial ortogonal klasik Polinomial Hermite muncul di Pemrosesan sinyal sebagai wavelet Hermitian untuk analisis transformasi wavelet Probabilitas seperti deret Edgeworth serta sehubungan dengan gerak Brown Kombinatorik sebagai contoh deret Appell yang mematuhi kalkulus umbral Analisis numerik sebagai kuadratur Gaussian Fisika di mana mereka memunculkan keadaan eigen dari osilator harmonik kuantum dan mereka juga terjadi dalam beberapa kasus persamaan distribusi panas heat equation Teori sistem sehubungan dengan operasi nonlinier pada noise Gaussian Teori matriks acak dalam ansambel Gaussian Daftar isi 1 Biografi 2 Definisi 2 1 Persamaan Diferensial 2 2 Persamaan Rodrigues 2 3 Fungsi Pembangkit 3 Sifat 3 1 Visualisasi 3 2 Ortogonalitas 3 3 Sifat Rekursif 4 Fenomena Kuantum 5 ReferensiBiografi suntingArtikel utama Charles Hermite Charles Hermite 1822 1901 adalah matematikawan Perancis yang melakukan pekerjaan brilian di banyak cabang matematika Namun sendiri ia menguasai memoar Lagrange tentang solusi persamaan numerik dan Disquisitiones Arithmeticae karya Gauss Dia diterima di cole Polytechnique Dia terpaksa pergi setelah satu tahun ketika diputuskan bahwa kaki kanannya yang cacat bawaan tidak akan memungkinkan dia untuk mengambil komisi di militer membuatnya tidak sepadan dengan waktu Politeknik Hermite telah banyak berjasa terutama dalam fungsi Abelian Tidak hanya itu Hermite kerap membantu banyak matematikawan muda lainnya seperti kontribusinya dalam menunjukkan mengenai bilangan transendental yang menjadi solusi persamaan polinomial terbatas Dirinya sering dikenal sebagai tokoh utama dalam pengembangan teori bentuk aljabar teori aritmatika bentuk kuadrat dan bahkan hingga fungsi elips dan Abelian Pada tahun 1848 Hermite menyiapkan dirinya untuk gelar sarjana sains dan disaat yang bersamaan mengajar di Cole Polytechnique Paris Dan pada tahun 1869 Hermite diangkat sebagai Profesor di Cole Normale Paris serta diangkat dalam posisi yang lebih tinggi lagi di tahun 1870 Definisi suntingPersamaan Diferensial sunting Polinomial Hermite adalah solusi dari persamaan diferensial y 2 x y 2 n y displaystyle y 2xy 2ny nbsp Penyelesaiannya diberikan secara unik dalam bentuk polinomial Hermite dalam bentuk y x C 1 H n x displaystyle y x C 1 H n x nbsp dengan C 1 displaystyle C 1 nbsp menunjukkan suatu konstanta setelah menerapkan kondisi batas bahwa u displaystyle u nbsp harus dibatasi secara polinomial di tak hingga Persamaan diferensial lain yang solusinya dapat dituliskan dalam bentuk polinomial Hermite adalah y x 2 y 2 n 1 u displaystyle y x 2 y 2n 1 u nbsp Solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah y x C 1 1 n e x 2 2 H n x displaystyle y x C 1 1 n e frac x 2 2 H n x nbsp Dalam beberapa sumber lain y displaystyle y nbsp dituliskan dengan variabel u displaystyle u nbsp dan n displaystyle n nbsp dituliskan dengan l displaystyle lambda nbsp Baik y displaystyle y nbsp atau u displaystyle u nbsp keduanya sama sama merupakan fungsi x displaystyle x nbsp dan n displaystyle n nbsp atau l displaystyle lambda nbsp merupakan bilangan cacah Persamaan Rodrigues sunting Persamaan Rodrigues untuk Polinomial Hermite adalah H n x 1 n e x 2 d d x n e x 2 displaystyle H n x 1 n e x 2 left frac d dx right n e x 2 nbsp Berikut beberapa Polinomial Hermite pertama H 0 x 1 displaystyle H 0 x 1 nbsp H 1 x 2 x displaystyle H 1 x 2x nbsp H 2 x 4 x 2 2 displaystyle H 2 x 4x 2 2 nbsp H 3 x 8 x 3 12 x displaystyle H 3 x 8x 3 12x nbsp H 4 x 16 x 4 48 x 2 12 displaystyle H 4 x 16x 4 48x 2 12 nbsp H 5 x 32 x 5 160 x 3 120 x displaystyle H 5 x 32x 5 160x 3 120x nbsp H 6 x 64 x 6 480 x 4 720 x 2 120 displaystyle H 6 x 64x 6 480x 4 720x 2 120 nbsp H 7 x 128 x 7 1344 x 5 3360 x 3 1680 x displaystyle H 7 x 128x 7 1344x 5 3360x 3 1680x nbsp Fungsi Pembangkit sunting Fungsi pembangkit untuk Polinomial Hermite adalah G H x t e 2 t x t 2 displaystyle G H x t e 2tx t 2 nbsp Fungsi pembangkit tersebut dapat diuraikan menjadi e 2 t x t 2 n 0 s 0 n 2 a t a u n 1 2 1 s n 2 s 2 x n 2 s t n n 0 t n s 0 n 2 a t a u n 1 2 1 s n 2 s 2 x n 2 s displaystyle e 2tx t 2 sum n 0 infty sum s 0 frac n 2 atau frac n 1 2 left frac 1 s n 2 s 2x n 2s t n right sum n 0 infty t n left sum s 0 frac n 2 atau frac n 1 2 left frac 1 s n 2 s 2x n 2s right right nbsp Ingat bahwa H n x s 0 n 2 a t a u n 1 2 1 r n n 2 r 2 x n 2 r displaystyle H n x sum s 0 frac n 2 atau frac n 1 2 1 r left frac n n 2 r 2x n 2r right nbsp Sehingga diperoleh G H x t e 2 t x t 2 n 0 H n x n t n displaystyle G H x t e 2tx t 2 sum n 0 infty frac H n x n t n nbsp Sifat suntingVisualisasi sunting Plot beberapa Polinomial Hermite pertama H n x displaystyle H n x nbsp nbsp Plot Beberapa Polinomial Hermite PertamaPlot bagian riil dari H n x i y displaystyle H n x iy nbsp nbsp Plot Bagian Riil dari H n x i y displaystyle H n x iy nbsp Plot bagian imajiner dari H n x i y displaystyle H n x iy nbsp nbsp Plot Bagian Imajiner dari H n x i y displaystyle H n x iy nbsp Ortogonalitas sunting Dalam matematika ortogonalitas adalah generalisasi dari gagasan geometris tentang tegak lurus Dengan ekstensi ortogonalitas juga digunakan untuk merujuk pada pemisahan fitur khusus dari suatu sistem Istilah ini juga memiliki arti khusus di bidang lain termasuk seni dan kimia H n x displaystyle H n x nbsp dan H e n x displaystyle He n x nbsp adalah polinomial derajat ke n untuk n 0 1 2 3 Polinomial ini ortogonal terhadap fungsi bobot pemberat w x e x 2 displaystyle w x e x 2 nbsp Secara umum berlaku ortogonalitas H m x H n x e x 2 d x p 2 n n d n m displaystyle int infty infty H m x H n x e x 2 dx sqrt pi 2 n n delta nm nbsp di mana d n m displaystyle delta nm nbsp adalah delta KroneckerDengan demikian polinomial probabilis ortogonal terhadap fungsi kerapatan probabilitas normal standar Sifat Rekursif sunting Sifat rekursif dari Polinomial Hermite adalah H n 1 x 2 x H n x 2 n H n 1 x displaystyle H n 1 x 2xH n x 2nH n 1 x nbsp H n x 2 n H n 1 x displaystyle H n x 2nH n 1 x nbsp Persamaan ini didapat dapat diturunkan menggunakan fungsi pembangkit Fenomena Kuantum suntingOperator Hamiltonian operator mekanika kuantum umum untuk energi mencakup operator energi kinetik T displaystyle hat T nbsp dan operator energi potensial V displaystyle hat V nbsp H T V displaystyle hat H hat T hat V nbsp Persamaan energi total pada osilator harmonis mencakup energi kinetik dan energi potensial harmonik Sehingga persamaan Schrodinger independen waktu bisa ditulis sebagai berikut nbsp Fungsi Gelombang ps n x displaystyle psi n x nbsp untuk n 0 sampai n 8 ℏ 2 2 m d 2 ps d x 2 V x ps E ps displaystyle frac hbar 2 2m frac d 2 psi dx 2 V x psi E psi nbsp Untuk suatu osilator sederhana V x displaystyle V x nbsp diberikan oleh V x 1 2 m w 2 x 2 displaystyle V x frac 1 2 m omega 2 x 2 nbsp Sehingga persamaan Schrodinger menjadi ℏ 2 2 m d 2 ps d x 2 1 2 m w 2 x 2 ps E ps displaystyle frac hbar 2 2m frac d 2 psi dx 2 frac 1 2 m omega 2 x 2 psi E psi nbsp Misal suatu variable ϵ displaystyle epsilon nbsp yang didefinisikan sebagai berikut ϵ m w ℏ x displaystyle epsilon sqrt frac m omega hbar x nbsp Sekarang kita tahu bahwa ps displaystyle psi nbsp adalah fungsi ϵ displaystyle epsilon nbsp di mana ϵ displaystyle epsilon nbsp sendiri adalah fungsi x displaystyle x nbsp nbsp Fungsi Densitas Probabilitas ps n 2 x displaystyle psi n 2 x nbsp untuk n 0 sampai n 7d ps d x d ps d ϵ d ϵ d x displaystyle frac d psi dx frac d psi d epsilon frac d epsilon dx nbsp d 2 ps d x 2 d 2 ps d ϵ 2 d ϵ d x d ϵ d x d ps d ϵ d 2 ϵ d x 2 displaystyle frac d 2 psi dx 2 frac d 2 psi d epsilon 2 frac d epsilon dx frac d epsilon dx frac d psi d epsilon frac d 2 epsilon dx 2 nbsp d 2 ps d x 2 d 2 ps d ϵ 2 m w ℏ 2 d ps d ϵ 0 displaystyle frac d 2 psi dx 2 frac d 2 psi d epsilon 2 left sqrt frac m omega hbar right 2 frac d psi d epsilon 0 nbsp d 2 ps d x 2 m w ℏ d 2 ps d ϵ 2 displaystyle frac d 2 psi dx 2 frac m omega hbar frac d 2 psi d epsilon 2 nbsp Substitusi kedalam persamaan differensial sebelumnya ℏ 2 2 m m w ℏ d 2 ps d ϵ 2 1 2 m w 2 x 2 ps E ps displaystyle frac hbar 2 2m frac m omega hbar frac d 2 psi d epsilon 2 frac 1 2 m omega 2 x 2 psi E psi nbsp x 2 displaystyle x 2 nbsp dapat dinyatakan sebagai x 2 ϵ 2 ℏ m w d 2 ps d ϵ 2 ϵ 2 ps 2 E ℏ w ps displaystyle x 2 frac epsilon 2 hbar m omega rightarrow frac d 2 psi d epsilon 2 epsilon 2 psi frac 2E hbar omega psi nbsp Definisikan K 2 E ℏ w d 2 ps d ϵ 2 ϵ 2 K ps displaystyle K frac 2E hbar omega rightarrow frac d 2 psi d epsilon 2 epsilon 2 K psi nbsp Ketika ϵ displaystyle epsilon nbsp jauh lebih besar dari K displaystyle K nbsp d 2 ps d ϵ 2 ϵ 2 ps displaystyle frac d 2 psi d epsilon 2 approx epsilon 2 psi nbsp ps ϵ A e ϵ 2 2 B e ϵ 2 2 displaystyle psi epsilon Ae frac epsilon 2 2 Be frac epsilon 2 2 nbsp Supaya bisa ternormalisasi maka dipastikan B 0 displaystyle B 0 nbsp supaya solusi ps ϵ displaystyle psi epsilon nbsp tidak terus bertambah besar secara eksponensial ketika ϵ displaystyle epsilon nbsp menuju tak hingga ps ϵ A e ϵ 2 2 displaystyle psi epsilon Ae frac epsilon 2 2 nbsp Tinjau suatu kasus di mana koefisien e ϵ 2 2 displaystyle e frac epsilon 2 2 nbsp bukanlah konstanta melainkan sebuah fungsi dependen ϵ displaystyle epsilon nbsp ps ϵ f ϵ e ϵ 2 2 displaystyle psi epsilon f epsilon e frac epsilon 2 2 nbsp d ps d ϵ d f d ϵ e ϵ 2 2 ϵ f e ϵ 2 2 d f d ϵ ϵ f e ϵ 2 2 displaystyle frac d psi d epsilon frac df d epsilon e frac epsilon 2 2 epsilon fe frac epsilon 2 2 left frac df d epsilon epsilon f right e frac epsilon 2 2 nbsp d 2 ps d ϵ 2 d 2 ps d ϵ 2 f ϵ d f d ϵ e ϵ 2 2 ϵ d f d ϵ ϵ f e ϵ 2 2 displaystyle frac d 2 psi d epsilon 2 left frac d 2 psi d epsilon 2 left f epsilon frac df d epsilon right right e frac epsilon 2 2 epsilon left frac df d epsilon epsilon f right e frac epsilon 2 2 nbsp d 2 ps d ϵ 2 d 2 f d ϵ 2 2 ϵ d f d ϵ ϵ 2 1 f e ϵ 2 2 displaystyle frac d 2 psi d epsilon 2 left frac d 2 f d epsilon 2 2 epsilon frac df d epsilon epsilon 2 1 f right e frac epsilon 2 2 nbsp Substitusi kembali d 2 ps d ϵ 2 ϵ 2 K ps displaystyle frac d 2 psi d epsilon 2 epsilon 2 K psi nbsp Sehingga diperoleh d 2 f d ϵ 2 2 ϵ d f d ϵ K 1 f 0 displaystyle frac d 2 f d epsilon 2 2 epsilon frac df d epsilon K 1 f 0 nbsp Persamaan differensial diatas tidak lain adalah bentuk lain persamaan differensial Hermite di mana solusinya adalah polinomial Hermite Dengan membandingkan koefisien persamaan di atas dengan persamaan diferensial Hermite K 2 n 1 displaystyle K 2n 1 nbsp E n 1 2 ℏ w displaystyle E left n frac 1 2 right hbar omega nbsp Persamaan di atas menunjukkan bahwa energi terkuantisasi atau hanya dapat memiliki nilai tertentu Yang menarik adalah energy ground state yang tidak nol yang tidak intuitif jika dilihat dari perspektif fisika klasik E 0 1 2 ℏ w displaystyle E 0 frac 1 2 hbar omega nbsp Sedangkan solusi persamaan differensial diatas menjadi f ϵ H n ϵ displaystyle f epsilon H n epsilon nbsp ps ϵ H n ϵ e ϵ 2 2 displaystyle psi epsilon H n epsilon e frac epsilon 2 2 nbsp Dari ortogonalitas polinomial Hermite ps n ϵ 1 2 n n p 1 4 H n ϵ e ϵ 2 2 displaystyle psi n epsilon frac 1 sqrt 2 n n pi frac 1 4 H n epsilon e frac epsilon 2 2 nbsp ps displaystyle psi nbsp sebagai fungsi x displaystyle x nbsp ps n x m w p ℏ 1 4 1 2 n n H n m w ℏ x e m w 2 ℏ x 2 displaystyle psi n x left frac m omega pi hbar right frac 1 4 frac 1 sqrt 2 n n H n left sqrt frac m omega hbar x right e frac m omega 2 hbar x 2 nbsp Referensi suntingMary L Boas 2006 Mathematical Methods in The Physical Sciences Third Edition United States John Wiley amp Sons Inc Griffiths D J amp Schroeter D F 2018 Introduction to quantum mechanics Cambridge university press Weisstein Eric W Hermite Polynomial From MathWorld A Wolfram Web Resource https mathworld wolfram com HermitePolynomial html Wolfram Research 1988 HermiteH Wolfram Language function https reference wolfram com language ref HermiteH html updated 2022 The Harmonic Oscillator Wavefunctions involve Hermite Polynomials 2020 March 19 https chem libretexts org go page 210817 Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Polinomial Hermite amp oldid 23226320
