Pertidaksamaan dalam matematika adalah kalimat pernyataan matematika yang menunjukkan perbandingan ukuran dua objek atau lebih Dua notasi dasar dalam pertidaksamaan adalah Daerah feasible dalam pemrograman linear merupakan kumpulan dari beberapa pertidaksamaan Daftar isi 1 Notasi pertidaksamaan 2 Jenis jenis pertidaksamaan 2 1 Pertidaksamaan Linear 2 2 Pertidaksamaan Kuadrat 2 3 Pertidaksamaan Irasional 2 4 Pertidaksamaan Pecahan 2 5 Pertidaksamaan Mutlak 3 Pertidaksamaan aritmatika dan geometri 4 Pertidaksamaan Cauchy Schwarz 5 Pertidaksamaan pangkat 5 1 Contoh 6 Pertidaksamaan yang terkenal 7 Lihat pula 8 Referensi 9 Sumber 10 Pranala luarNotasi pertidaksamaan suntingNotasi Arti Contoh lt lebih kecilkurang dari 2 lt 3 x 1 lt 3 gt lebih besarlebih dari 3 gt 2 3x 1 gt 5 lebih kecil atau sama denganbatas dibawahmaksimummaksimalsebanyaknyapaling banyaktidak lebih darisekurangnya 2 3 x 1 3 lebih besar atau sama denganbatas diatasminimumminimalsesedikitnyapaling sedikittidak kurang dariselebihnya 3 2 3x 1 5 tidak sama dengan 2 3 x 1 3 a lt x lt b diantara a dan b 2 lt x lt 5 a x lt b diantara a dan b bila ada a 2 x lt 5 a lt x b diantara a dan b bila ada b 2 lt x 5 a x b diantara a dan b bila ada a dan b 2 x 5 x lt a v x gt b kurang dari a atau lebih dari b x lt 2 v x gt 5 x a v x gt b maksimal a atau lebih dari b x 2 v x lt 5 x lt a v x b kurang dari a atau minimal b x lt 2 v x 5 x a v x b maksimal a atau minimal b x 2 v x 5Jenis jenis pertidaksamaan suntingPertidaksamaan Linear sunting Tentukan nilai x dari pertidaksamaan 6 x 7 lt 5 x 3 displaystyle 6x 7 lt 5x 3 nbsp 6 x 7 lt 5 x 3 displaystyle 6x 7 lt 5x 3 nbsp 6 x 5 x lt 3 7 displaystyle 6x 5x lt 3 7 nbsp x lt 10 displaystyle x lt 10 nbsp H P x x lt 10 x R displaystyle HP x x lt 10 x in R nbsp Tentukan nilai x dari pertidaksamaan 5 2 x 4 x 1 displaystyle 5 2x geq 4x 1 nbsp 5 2 x 4 x 1 displaystyle 5 2x geq 4x 1 nbsp 2 x 4 x 1 5 displaystyle 2x 4x geq 1 5 nbsp 6 x 6 displaystyle 6x geq 6 nbsp karena nilai negatif maka tanda harus terbalik x 1 displaystyle x leq 1 nbsp H P x x 1 x R displaystyle HP x x leq 1 x in R nbsp Pertidaksamaan Kuadrat sunting Tentukan nilai x dari pertidaksamaan x 2 7 x gt 10 4 x displaystyle x 2 7x gt 10 4x nbsp x 2 7 x gt 10 4 x displaystyle x 2 7x gt 10 4x nbsp x 2 3 x 10 gt 0 displaystyle x 2 3x 10 gt 0 nbsp dibuat harga nol x 2 3 x 10 0 displaystyle x 2 3x 10 0 nbsp x 2 x 5 0 displaystyle x 2 x 5 0 nbsp x 2 x 5 displaystyle x 2 lor x 5 nbsp dibuat irisan 2 5 N A N A H P x x lt 2 x gt 5 x R displaystyle HP x x lt 2 lor x gt 5 x in R nbsp Tentukan nilai x dari pertidaksamaan 2 x 2 x 10 displaystyle 2 x 2 leq x 10 nbsp 2 x 2 x 10 displaystyle 2 x 2 leq x 10 nbsp x 2 x 12 0 displaystyle x 2 x 12 geq 0 nbsp dibuat harga nol x 2 x 12 0 displaystyle x 2 x 12 0 nbsp x 4 x 3 0 displaystyle x 4 x 3 0 nbsp x 4 x 3 displaystyle x 4 lor x 3 nbsp dibuat irisan 4 3 N A N A H P x x 4 x 3 x R displaystyle HP x x leq 4 lor x geq 3 x in R nbsp Pertidaksamaan Irasional sunting Dalam bentuk pertidaksamaan irasional sebagai berikut f x lt g x displaystyle sqrt f x lt sqrt g x nbsp atau f x gt g x displaystyle sqrt f x gt sqrt g x nbsp kuadratkan kedua sisinya akan menjadi f x lt g x displaystyle f x lt g x nbsp atau f x gt g x displaystyle f x gt g x nbsp serta haruslah mempunyai syarat yaitu f x 0 dan g x 0 Tentukan nilai x dari pertidaksamaan x 2 4 x lt 10 x displaystyle sqrt x 2 4x lt sqrt 10 x nbsp x 2 4 x lt 10 x displaystyle sqrt x 2 4x lt sqrt 10 x nbsp x 2 4 x 2 lt 10 x 2 displaystyle sqrt x 2 4x 2 lt sqrt 10 x 2 nbsp x 2 4 x lt 10 x displaystyle x 2 4x lt 10 x nbsp x 2 3 x 10 lt 0 displaystyle x 2 3x 10 lt 0 nbsp Irisan 1 x 2 3 x 10 lt 0 displaystyle x 2 3x 10 lt 0 nbsp dibuat harga nol x 2 3 x 10 0 displaystyle x 2 3x 10 0 nbsp x 2 x 5 0 displaystyle x 2 x 5 0 nbsp x 2 x 5 displaystyle x 2 lor x 5 nbsp karena ada syarat akar maka Irisan 2 x 2 4 x 0 displaystyle x 2 4x geq 0 nbsp dibuat harga nol x 2 4 x 0 displaystyle x 2 4x 0 nbsp x x 4 0 displaystyle x x 4 0 nbsp x 0 x 4 displaystyle x 0 lor x 4 nbsp Irisan 3 10 x 0 displaystyle 10 x geq 0 nbsp x 10 displaystyle x leq 10 nbsp gabungkan umum dan syarat Irisan 2 0 4 5 10 pertama tidak N A ya N A ya N A ya N A tidak N A tidak kedua ya N A ya N A tidak N A ya N A ya N A ya ketiga ya N A ya N A ya N A ya N A ya N A tidak H P x 2 lt x 0 4 x lt 5 x R displaystyle HP x 2 lt x leq 0 lor 4 leq x lt 5 x in R nbsp Tentukan nilai x dari pertidaksamaan x 2 4 3 x 50 displaystyle sqrt x 2 4 geq sqrt 3x 50 nbsp x 2 4 3 x 50 displaystyle sqrt x 2 4 geq sqrt 3x 50 nbsp x 2 4 2 3 x 50 2 displaystyle sqrt x 2 4 2 geq sqrt 3x 50 2 nbsp x 2 4 3 x 50 displaystyle x 2 4 geq 3x 50 nbsp x 2 3 x 54 0 displaystyle x 2 3x 54 geq 0 nbsp Irisan 1 x 2 3 x 54 0 displaystyle x 2 3x 54 geq 0 nbsp dibuat harga nol x 2 3 x 54 0 displaystyle x 2 3x 54 0 nbsp x 6 x 9 0 displaystyle x 6 x 9 0 nbsp x 6 x 9 displaystyle x 6 lor x 9 nbsp karena ada syarat akar maka Irisan 2 x 2 4 0 displaystyle x 2 4 geq 0 nbsp dibuat harga nol x 2 4 0 displaystyle x 2 4 0 nbsp x 2 x 2 0 displaystyle x 2 x 2 0 nbsp x 2 x 2 displaystyle x 2 lor x 2 nbsp Irisan 3 3 x 50 0 displaystyle 3x 50 geq 0 nbsp x 50 3 displaystyle x geq frac 50 3 nbsp gabungkan umum dan syarat Irisan 50 3 6 2 2 9 pertama ya N A ya N A tidak N A tidak N A tidak N A ya kedua ya N A ya N A ya N A tidak N A ya N A ya ketiga tidak N A ya N A ya N A ya N A ya N A ya H P x 50 3 x 6 x 9 x R displaystyle HP x frac 50 3 leq x leq 6 lor x geq 9 x in R nbsp Pertidaksamaan Pecahan sunting Dalam bentuk pertidaksamaan pecahan sebagai berikut f x g x 0 displaystyle frac f x g x 0 nbsp di mana f x g x displaystyle f x g x nbsp adalah fungsi aljabar dengan g x 0 displaystyle g x neq 0 nbsp dan displaystyle nbsp merepresentasikan notasi pertidaksamaan Tentukan nilai x dari pertidaksamaan x 4 x 3 lt x 1 x 2 displaystyle frac x 4 x 3 lt frac x 1 x 2 nbsp x 4 x 3 lt x 1 x 2 displaystyle frac x 4 x 3 lt frac x 1 x 2 nbsp x 4 x 3 x 1 x 2 lt 0 displaystyle frac x 4 x 3 frac x 1 x 2 lt 0 nbsp x 4 x 2 x 1 x 3 x 3 x 2 lt 0 displaystyle frac x 4 x 2 x 1 x 3 x 3 x 2 lt 0 nbsp x 2 6 x 8 x 2 2 x 3 x 3 x 2 lt 0 displaystyle frac x 2 6x 8 x 2 2x 3 x 3 x 2 lt 0 nbsp 4 x 11 x 3 x 2 lt 0 displaystyle frac 4x 11 x 3 x 2 lt 0 nbsp 4 x 11 lt 0 displaystyle 4x 11 lt 0 nbsp x lt 11 4 displaystyle x lt frac 11 4 nbsp karena ada syarat pecahan maka penyebut 1 x 3 0 displaystyle x 3 neq 0 nbsp x 3 displaystyle x neq 3 nbsp penyebut 2 x 2 0 displaystyle x 2 neq 0 nbsp x 2 displaystyle x neq 2 nbsp dibuat irisan 2 11 4 3 N A N A N A H P x 2 lt x lt 11 4 x gt 3 x R displaystyle HP x 2 lt x lt frac 11 4 lor x gt 3 x in R nbsp Tentukan nilai x dari pertidaksamaan x 6 x 17 1 x 3 displaystyle frac x 6 x 17 geq frac 1 x 3 nbsp x 6 x 17 1 x 3 displaystyle frac x 6 x 17 geq frac 1 x 3 nbsp x 6 x 17 1 x 3 0 displaystyle frac x 6 x 17 frac 1 x 3 geq 0 nbsp x 6 x 3 x 17 x 17 x 3 0 displaystyle frac x 6 x 3 x 17 x 17 x 3 geq 0 nbsp x 2 3 x 18 x 17 x 17 x 3 0 displaystyle frac x 2 3x 18 x 17 x 17 x 3 geq 0 nbsp x 2 2 x 35 x 3 x 2 0 displaystyle frac x 2 2x 35 x 3 x 2 geq 0 nbsp x 2 2 x 35 0 displaystyle x 2 2x 35 geq 0 nbsp dibuat harga nol x 2 2 x 35 0 displaystyle x 2 2x 35 0 nbsp x 7 x 5 0 displaystyle x 7 x 5 0 nbsp x 7 x 5 displaystyle x 7 lor x 5 nbsp tanpa gambar irisan karena ada syarat pecahan maka penyebut 1 x 17 0 displaystyle x 17 neq 0 nbsp x 17 displaystyle x neq 17 nbsp penyebut 2 x 3 0 displaystyle x 3 neq 0 nbsp x 3 displaystyle x neq 3 nbsp dibuat irisan 17 7 3 5 N A N A N A N A H P x x lt 17 7 x lt 3 x 5 x R displaystyle HP x x lt 17 lor 7 leq x lt 3 lor x geq 5 x in R nbsp Pertidaksamaan Mutlak sunting Dalam bentuk pertidaksamaan mutlak sebagai berikut Model I f x lt k displaystyle f x lt k nbsp atau f x gt k displaystyle f x gt k nbsp haruslah mempunyai dua nilai yaitu f x f x lt k maka penyelesaian k lt f x lt k f x gt k maka penyelesaian f x lt k f x gt k displaystyle f x left begin matrix f x lt k amp mbox maka penyelesaian k lt f x lt k f x gt k amp mbox maka penyelesaian f x lt k lor f x gt k end matrix right nbsp Model II Jika f x lt g x displaystyle f x lt g x nbsp atau f x gt g x displaystyle f x gt g x nbsp maka kuadratkan kedua sisi tersebut akan menjadi f x 2 g x 2 lt 0 displaystyle f x 2 g x 2 lt 0 nbsp atau f x 2 g x 2 gt 0 displaystyle f x 2 g x 2 gt 0 nbsp Model III Jika a lt f x lt b displaystyle a lt f x lt b nbsp maka menghasilkan a lt f x lt b displaystyle a lt f x lt b nbsp dan b lt f x lt a displaystyle b lt f x lt a nbsp begitupula g x lt f x lt h x displaystyle g x lt f x lt h x nbsp Model IV Jika f x displaystyle f x nbsp terkurung maka f x menghasilkan f x 0 displaystyle f x geq 0 nbsp serta f x menghasilkan f x lt 0 displaystyle f x lt 0 nbsp Pertidaksamaan mutlak akan memungkinkan definit dan karena tidak memotong dan menyinggung sumbu y Tentukan nilai x dari pertidaksamaan x 2 x lt 12 displaystyle x 2 x lt 12 nbsp x 2 x lt 12 displaystyle x 2 x lt 12 nbsp karena f x lt g x maka penyelesaian g x lt f x lt g x 12 lt x 2 x lt 12 displaystyle 12 lt x 2 x lt 12 nbsp untuk 12 lt x 2 x displaystyle 12 lt x 2 x nbsp 12 lt x 2 x displaystyle 12 lt x 2 x nbsp x 2 x 12 gt 0 displaystyle x 2 x 12 gt 0 nbsp definit untuk x 2 x lt 12 displaystyle x 2 x lt 12 nbsp x 2 x lt 12 displaystyle x 2 x lt 12 nbsp x 2 x 12 lt 0 displaystyle x 2 x 12 lt 0 nbsp dibuat harga nol x 2 x 12 0 displaystyle x 2 x 12 0 nbsp x 4 x 3 lt 0 displaystyle x 4 x 3 lt 0 nbsp x 4 x 3 displaystyle x 4 lor x 3 nbsp dibuat irisan 4 3 N A N A 4 lt x lt 3 displaystyle 4 lt x lt 3 nbsp H P x 4 lt x lt 3 x R displaystyle HP x 4 lt x lt 3 x in R nbsp Tentukan nilai x dari persamaan x 2 4 x 12 7 6 x 5 displaystyle x 2 4x 12 7 6x geq 5 nbsp terlebih dahulu untuk mempunyai batas batas yang ada untuk x 2 4x 12 x 2 4 x 12 x 2 4 x 12 maka penyelesaian x 2 4 x 12 0 x 2 4 x 12 maka penyelesaian x 2 4 x 12 lt 0 displaystyle x 2 4x 12 left begin matrix x 2 4x 12 amp mbox maka penyelesaian x 2 4x 12 geq 0 x 2 4x 12 amp mbox maka penyelesaian x 2 4x 12 lt 0 end matrix right nbsp batasan f x x 2 4 x 12 0 displaystyle x 2 4x 12 geq 0 nbsp dibuat harga nol x 2 4 x 12 0 displaystyle x 2 4x 12 0 nbsp x 2 x 6 0 displaystyle x 2 x 6 0 nbsp x 2 x 6 displaystyle x 2 lor x 6 nbsp dibuat irisan 2 6 N A N A x 2 x 6 displaystyle x leq 2 lor x geq 6 nbsp batasan f x x 2 4 x 12 lt 0 displaystyle x 2 4x 12 lt 0 nbsp dibuat harga nol x 2 4 x 12 0 displaystyle x 2 4x 12 0 nbsp x 2 x 6 0 displaystyle x 2 x 6 0 nbsp x 2 x 6 displaystyle x 2 lor x 6 nbsp dibuat irisan 2 6 N A N A 2 lt x lt 6 displaystyle 2 lt x lt 6 nbsp untuk 7 6x 7 6 x 7 6 x maka penyelesaian 7 6 x 0 7 6 x maka penyelesaian 7 6 x lt 0 displaystyle 7 6x left begin matrix 7 6x amp mbox maka penyelesaian 7 6x geq 0 7 6x amp mbox maka penyelesaian 7 6x lt 0 end matrix right nbsp batasan f x 7 6 x 0 displaystyle 7 6x geq 0 nbsp x 7 6 displaystyle x leq frac 7 6 nbsp batasan f x 7 6 x lt 0 displaystyle 7 6x lt 0 nbsp x gt 7 6 displaystyle x gt frac 7 6 nbsp keempat batas batas akan dibuat irisan irisan 2 7 6 6 pertama x 2 4x 12 N A N A N A x 2 4x 12 kedua N A x 2 4x 12 N A x 2 4x 12 N A ketiga 7 6x N A 7 6x N A N A keempat N A N A 7 6x N A 7 6x untuk x lt 2 x 2 4 x 12 7 6 x 5 displaystyle x 2 4x 12 7 6x geq 5 nbsp x 2 4 x 12 7 6 x 5 0 displaystyle x 2 4x 12 7 6x 5 geq 0 nbsp x 2 2 x 24 0 displaystyle x 2 2x 24 geq 0 nbsp dibuat harga nol x 2 2 x 24 0 displaystyle x 2 2x 24 0 nbsp x 6 x 4 0 displaystyle x 6 x 4 0 nbsp x 6 x 4 displaystyle x 6 lor x 4 nbsp dibuat irisan 6 2 4 Ya N A Ya N A Tidak N A Tidak N A N A N A x 6 displaystyle x leq 6 nbsp untuk 2 lt x lt 7 6 x 2 4 x 12 7 6 x 5 displaystyle x 2 4x 12 7 6x geq 5 nbsp x 2 4 x 12 7 6 x 5 0 displaystyle x 2 4x 12 7 6x 5 geq 0 nbsp x 2 10 x 0 displaystyle x 2 10x leq 0 nbsp dibuat harga nol x 2 10 x 0 displaystyle x 2 10x 0 nbsp x x 10 0 displaystyle x x 10 0 nbsp x 0 x 10 displaystyle x 0 lor x 10 nbsp dibuat irisan 2 0 7 6 10 Tidak N A Ya N A Ya N A Tidak N A Tidak N A N A N A N A 0 x 7 6 displaystyle 0 leq x leq frac 7 6 nbsp untuk 7 6 lt x lt 6 x 2 4 x 12 7 6 x 5 displaystyle x 2 4x 12 7 6x geq 5 nbsp x 2 4 x 12 7 6 x 5 0 displaystyle x 2 4x 12 7 6x 5 geq 0 nbsp x 2 2 x 0 displaystyle x 2 2x leq 0 nbsp dibuat harga nol x 2 2 x 0 displaystyle x 2 2x 0 nbsp x x 2 0 displaystyle x x 2 0 nbsp x 0 x 2 displaystyle x 0 lor x 2 nbsp dibuat irisan 2 0 7 6 6 Tidak N A Tidak N A Tidak N A Ya N A Tidak N A N A N A N A displaystyle varnothing nbsp untuk x gt 6 x 2 4 x 12 7 6 x 5 displaystyle x 2 4x 12 7 6x geq 5 nbsp x 2 4 x 12 7 6 x 5 0 displaystyle x 2 4x 12 7 6x 5 geq 0 nbsp x 2 10 x 10 0 displaystyle x 2 10x 10 geq 0 nbsp definit displaystyle varnothing nbsp gabungkan keempat batas batas sesuai dengan himpunan gabungan jadi H P x x 6 0 x 7 6 x R displaystyle HP x x leq 6 lor 0 leq x leq frac 7 6 x in R nbsp Tentukan nilai x dari pertidaksamaan x 4 10 x lt 1 x 2 displaystyle frac x 4 10 x lt frac 1 x 2 nbsp x 4 10 x lt 1 x 2 displaystyle frac x 4 10 x lt frac 1 x 2 nbsp x 4 10 x 2 lt 1 x 2 2 displaystyle frac x 4 10 x 2 lt frac 1 x 2 2 nbsp x 4 10 x 2 1 x 2 2 lt 0 displaystyle frac x 4 10 x 2 frac 1 x 2 2 lt 0 nbsp x 4 10 x 1 x 2 x 4 10 x 1 x 2 lt 0 displaystyle frac x 4 10 x frac 1 x 2 frac x 4 10 x frac 1 x 2 lt 0 nbsp x 4 x 2 10 x 10 x x 2 x 4 x 2 10 x 10 x x 2 lt 0 displaystyle frac x 4 x 2 10 x 10 x x 2 frac x 4 x 2 10 x 10 x x 2 lt 0 nbsp x 2 2 x 8 10 x 10 x x 2 x 2 2 x 8 10 x 10 x x 2 lt 0 displaystyle frac x 2 2x 8 10 x 10 x x 2 frac x 2 2x 8 10 x 10 x x 2 lt 0 nbsp x 2 x 2 10 x x 2 x 2 3 x 18 10 x x 2 lt 0 displaystyle frac x 2 x 2 10 x x 2 frac x 2 3x 18 10 x x 2 lt 0 nbsp akar dari x 2 x 2 10 x x 2 displaystyle frac x 2 x 2 10 x x 2 nbsp x 2 x 2 10 x x 2 lt 0 displaystyle frac x 2 x 2 10 x x 2 lt 0 nbsp x 2 x 2 0 displaystyle x 2 x 2 0 nbsp definit karena ada syarat pecahan maka penyebut 1 10 x 0 displaystyle 10 x neq 0 nbsp x 10 displaystyle x neq 10 nbsp penyebut 2 x 2 0 displaystyle x 2 neq 0 nbsp x 2 displaystyle x neq 2 nbsp akar dari x 2 3 x 18 10 x x 2 displaystyle frac x 2 3x 18 10 x x 2 nbsp x 2 3 x 18 10 x x 2 lt 0 displaystyle frac x 2 3x 18 10 x x 2 lt 0 nbsp x 2 3 x 18 lt 0 displaystyle x 2 3x 18 lt 0 nbsp dibuat harga nol x 2 3 x 18 0 displaystyle x 2 3x 18 0 nbsp x 6 x 3 0 displaystyle x 6 x 3 0 nbsp x 6 x 3 displaystyle x 6 lor x 3 nbsp tanpa gambar irisan karena ada syarat pecahan maka penyebut 1 10 x 0 displaystyle 10 x neq 0 nbsp x 10 displaystyle x neq 10 nbsp penyebut 2 x 2 0 displaystyle x 2 neq 0 nbsp x 2 displaystyle x neq 2 nbsp dibuat irisan 6 2 3 10 N A N A N A N A nb mempunyai 2 akar H P x 6 lt x lt 3 x R displaystyle HP x 6 lt x lt 3 x in R nbsp Tentukan nilai x dari pertidaksamaan x 2 4 x 3 x 10 displaystyle sqrt x 2 4x geq sqrt 3x 10 nbsp x 2 4 x 3 x 10 displaystyle sqrt x 2 4x geq sqrt 3x 10 nbsp x 2 4 x 2 3 x 10 2 displaystyle sqrt x 2 4x 2 geq sqrt 3x 10 2 nbsp x 2 4 x 3 x 10 displaystyle x 2 4x geq 3x 10 nbsp x 2 7 x 10 0 displaystyle x 2 7x 10 geq 0 nbsp dibuat harga nol x 2 7 x 10 0 displaystyle x 2 7x 10 0 nbsp x 2 x 5 0 displaystyle x 2 x 5 0 nbsp x 2 x 5 displaystyle x 2 lor x 5 nbsp dibuat irisan 2 5 N A N A x 2 x 5 displaystyle x leq 2 lor x geq 5 nbsp karena ada syarat akar maka akar 1 x 2 4 x 0 displaystyle x 2 4x geq 0 nbsp dibuat harga nol x 2 4 x 0 displaystyle x 2 4x 0 nbsp x x 4 0 displaystyle x x 4 0 nbsp x 0 x 4 displaystyle x 0 lor x 4 nbsp dibuat irisan 0 4 N A N A x 0 x 4 displaystyle x leq 0 lor x geq 4 nbsp akar 2 3 x 10 0 displaystyle 3x 10 geq 0 nbsp x 10 3 displaystyle x geq frac 10 3 nbsp gabungkan umum dan syarat irisan 0 2 10 3 4 5 pertama ya N A ya N A tidak N A tidak N A tidak N A ya kedua ya N A tidak N A tidak N A tidak N A ya N A ya ketiga tidak N A tidak N A tidak N A ya N A ya N A ya H P x x 5 x R displaystyle HP x x geq 5 x in R nbsp Pertidaksamaan aritmatika dan geometri suntingLihat pula Pertidaksamaan rata rata aritmatika dan geometri Ada banyak pertidaksamaan antara cara Contohnya untuk bilangan positif a1 a2 an kita punya H G A Q dimana H n 1 a 1 1 a 2 1 a n displaystyle H frac n frac 1 a 1 frac 1 a 2 cdots frac 1 a n nbsp rata rata harmonis G a 1 a 2 a n n displaystyle G sqrt n a 1 cdot a 2 cdots a n nbsp rata rata geometris A a 1 a 2 a n n displaystyle A frac a 1 a 2 cdots a n n nbsp rata rata aritmatika Q a 1 2 a 2 2 a n 2 n displaystyle Q sqrt frac a 1 2 a 2 2 cdots a n 2 n nbsp rata rata kuadrat Pertidaksamaan Cauchy Schwarz suntingLihat pula Pertidaksamaan Cauchy Schwarz Pertidaksamaan Cauchy Schwarz menyatakan bahwa untuk semua vektor u dan v dari ruang hasil kali dalam memang benar bahwa u v 2 u u v v displaystyle langle mathbf u mathbf v rangle 2 leq langle mathbf u mathbf u rangle cdot langle mathbf v mathbf v rangle nbsp where displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp adalah produk dalam Contoh produk dalam mencakup produk titik nyata dan kompleks Di ruang Euklides Rn dengan hasil kali dalam standar pertidaksamaan Cauchy Schwarz adalah i 1 n u i v i 2 i 1 n u i 2 i 1 n v i 2 displaystyle left sum i 1 n u i v i right 2 leq left sum i 1 n u i 2 right left sum i 1 n v i 2 right nbsp Pertidaksamaan pangkat suntingSebuah pertidaksamaan pangkat adalah pertidaksamaan yang mengandung istilah bentuk ab di mana a dan b adalah bilangan positif nyata atau ekspresi variabel Mereka sering muncul dalam latihan olimpiade matematika Contoh sunting Dari bilangan riil x e x 1 x displaystyle e x geq 1 x nbsp dd Bila x gt 0 dan p gt 0 maka x p 1 p ln x 1 1 x p p displaystyle frac x p 1 p geq ln x geq frac 1 frac 1 x p p nbsp dd Dalam batas p 0 batas atas dan bawah bertemu ln x Bila x gt 0 maka x x 1 e 1 e displaystyle x x geq left frac 1 e right frac 1 e nbsp dd Bila x gt 0 maka x x x x displaystyle x x x geq x nbsp dd Bila x y z gt 0 maka x y z x z y y z x gt 2 displaystyle left x y right z left x z right y left y z right x gt 2 nbsp dd Untuk bilangan riil a dan b e b e a b a gt e a b 2 displaystyle frac e b e a b a gt e a b 2 nbsp dd Bila x y gt 0 dan 0 lt p lt 1 maka x p y p gt x y p displaystyle x p y p gt left x y right p nbsp dd Bila x y z gt 0 maka x x y y z z x y z x y z 3 displaystyle x x y y z z geq left xyz right x y z 3 nbsp dd Bila a b gt 0 maka 1 a a b b a b b a displaystyle a a b b geq a b b a nbsp dd Bila a b gt 0 maka 2 a e a b e b a e b b e a displaystyle a ea b eb geq a eb b ea nbsp dd Bila a b c gt 0 maka a 2 a b 2 b c 2 c a 2 b b 2 c c 2 a displaystyle a 2a b 2b c 2c geq a 2b b 2c c 2a nbsp dd Bila a b gt 0 maka a b b a gt 1 displaystyle a b b a gt 1 nbsp dd Pertidaksamaan yang terkenal suntingLihat pula Daftar Pertidaksamaan Matematikawan sering menggunakan pertidaksamaan untuk jumlah terikat yang rumus eksaknya tidak dapat dihitung dengan mudah Beberapa ketidaksetaraan begitu sering digunakan sehingga memiliki nama Pertidaksamaan Azuma Pertidaksamaan Bernoulli Pertidaksamaan Bell Pertidaksamaan Boole Pertidaksamaan Cauchy Schwarz Pertidaksamaan Chebyshev Pertidaksamaan Chernoff Pertidaksamaan Cramer Rao Pertidaksamaan Hoeffding Pertidaksamaan Holder Pertidaksamaan rata rata aritmatika dan geometri Pertidaksamaan Jensen Pertidaksamaan Kolmogorov Pertidaksamaan Markov Pertidaksamaan Minkowski Pertidaksamaan Nesbitt Pertidaksamaan Pedoe Pertidaksamaan Poincare Pertidaksamaan Samuelson Pertidaksamaan segitigaLihat pula suntingHubungan biner Biner matematika untuk penggunaan tanda lt dan yang serupa sebagai tanda kurung Inklusi teori himpunan Inequation Interval matematika Daftar pertidaksamaan Daftar pertidaksamaan segitiga Himpunan yang dipesan sebagian Operator relasional digunakan dalam bahasa pemrograman untuk menunjukkan ketidaksetaraanReferensi sunting Laub M Ilani Ishai 1990 E3116 The American Mathematical Monthly 97 1 65 67 doi 10 2307 2324012 JSTOR 2324012 Manyama S 2010 Solution of One Conjecture on Inequalities with Power Exponential Functions PDF Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications 7 2 1 Sumber suntingHardy G Littlewood J E Polya G 1999 Inequalities Cambridge Mathematical Library Cambridge University Press ISBN 0 521 05206 8 Pemeliharaan CS1 Banyak nama authors list link Beckenbach E F Bellman R 1975 An Introduction to Inequalities Random House Inc ISBN 0 394 01559 2 Pemeliharaan CS1 Banyak nama authors list link Drachman Byron C Cloud Michael J 1998 Inequalities With Applications to Engineering nbsp Springer Verlag ISBN 0 387 98404 6 Pemeliharaan CS1 Banyak nama authors list link Grinshpan A Z 2005 General inequalities consequences and applications Advances in Applied Mathematics 34 1 71 100 doi 10 1016 j aam 2004 05 001 nbsp Murray S Klamkin Quickie inequalities PDF Math Strategies Diarsipkan dari versi asli PDF tanggal 2020 10 03 Diakses tanggal 2020 09 27 Arthur Lohwater 1982 Introduction to Inequalities Online e book in PDF format Harold Shapiro 2005 Mathematical Problem Solving The Old Problem Seminar Kungliga Tekniska hogskolan 3rd USAMO Diarsipkan dari versi asli tanggal 2008 02 03 Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan Pachpatte B G 2005 Mathematical Inequalities North Holland Mathematical Library 67 edisi ke first Amsterdam The Netherlands Elsevier ISBN 0 444 51795 2 ISSN 0924 6509 MR 2147066 Zbl 1091 26008 Ehrgott Matthias 2005 Multicriteria Optimization Springer Berlin ISBN 3 540 21398 8 Steele J Michael 2004 The Cauchy Schwarz Master Class An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities Cambridge University Press ISBN 978 0 521 54677 5 Pranala luar sunting nbsp Wikimedia Commons memiliki media mengenai Inequalities mathematics Hazewinkel Michiel ed 2001 1994 Inequality Encyclopedia of Mathematics Springer Science Business Media B V Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1 55608 010 4 Graph of Inequalities by Ed Pegg Jr AoPS Wiki entry about Inequalities Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Pertidaksamaan amp oldid 24149436
