www.wikidata.id-id.nina.az

Jumlah Riemann Dalam matematika jumlah Riemann adalah salah satu jenis aproksimasi hampiran integral menggunakan metode

Jumlah Riemann

Dalam matematika, jumlah Riemann adalah salah satu jenis aproksimasi/hampiran integral menggunakan metode penjumlahan terbatas. Nama metode ini berasal dari seorang ahli matematika Jerman di abad ke-19 bernama Bernhard Riemann. Salah satu aplikasi jumlah Riemann yang sangat umum digunakan adalah penghampiran luas daerah suatu fungsi atau garis pada grafik, panjang kurva, dan perkiraan lainnya.

Empat metode penjumlahan Riemann untuk memperkirakan luas daerah di bawah kurva. Metode kanan dan kiri memperkirakan luas masing-masing menggunakan titik akhir kanan dan kiri subinterval. Metode maksimum dan minimum memperkirakan luas masing-masing menggunakan nilai titik akhir terbesar dan terkecil subinterval. Nilai-nilai penjumlahan konvergen ketika subinterval membagi dua dari kiri atas ke kanan bawah.

Jumlah Riemann dihitung dengan mempartisi (membagi) daerah yang ingin dihitung menjadi beberapa keping dengan bentuk tertentu (persegi panjang, trapesium, parabola, atau kubik). Luas dari semua kepingan tersebut kemudian dihitung dan dijumlahkan. Metode ini dapat digunakan untuk menentukan aproksimasi numerik integral tentu, bahkan ketika teorema dasar kalkulus membuatnya tidak mudah untuk menemukan solusi bentuk tertutup .

Karena kepingan-kepingan kecil tersebut tidak selalu tepat menutupi semua daerah yang diukur, luas daerah yang dihitung menggunakan jumlah Riemann akan berbeda dari luas sebenarnya. Kesalahan ini dapat diminimalisasi dengan membagi wilayah menjadi kepingan yang lebih kecil dalam jumlah yang lebih banyak. Saat kepingan semakin kecil, luas yang didapat melalui hampiran ini akan semakin mendekati integral Riemann.

Definisi sunting

Apabila diberikan sebagai fungsi yang didefinisikan pada interval tertutup bilangan real ,

sebagai partisi dari interval I, dan

maka jumlah Riemann dari f pada interval I dengan partisi P didefinisikan sebagai

dengan dan . Berapapun nilai titik wakil tidak begitu penting karena lebar dari mendekati nol. Dengan kata lain, anda dapat memilih titik wakil berapapun selama nilai yang anda pilih masih berada pada interval atau . Jumlah Riemann fungsi f yang didefinisikan pada interval I dan partisi tetap P bernilai sama dan tidak bergantung pada berapa nilai yang dipilih.

Beberapa jenis jumlah Riemann sunting

Terdapat beberapa jenis jumlah Riemann, tergantung pada bagaimana cara memilih titik wakil :

  • Jika untuk semua i, maka S disebut aturan kiri atau jumlah Riemann kiri.
  • Jika untuk semua i, maka S disebut aturan kanan atau jumlah Riemann kanan.
  • Jika untuk semua i, maka S disebut aturan titik tengah atau jumlah Riemann tengah.
  • Jika (supremum f pada interval ), maka S didefinisikan sebagai jumlah Riemann atas atau jumlah Darboux atas.
  • Jika (infimum f pada interval ), maka S didefinisikan sebagai jumlah Riemann bawah atau jumlah Darboux bawah.

Semua metode ini merupakan cara-cara paling sederhana untuk menentukan integrasi numerik. Sebuah fungsi dapat dihitung menggunakan integral Riemann apabila besar jumlah Riemann semakin mendekati suatu nilai tertentu seiring dengan semakin banyaknya partisi.

Metode sunting

Metode-metode penjumlahan Riemann biasanya paling baik dihampiri dengan partisi berukuran sama. Oleh karena itu, interval [, ] dibagi menjadi subinterval, masing-masing panjangnya

Titik-titik di partisi akan menjadi

Jumlah Riemann kiri sunting

Jumlah Riemann kiri x3 pada interval [0,2] menggunakan 4 subdivisi

Untuk jumlah Riemann kiri, aproksimasi fungsi dihitung menggunakan nilai pada titik ujung kiri dari beberapa persegi panjang dengan alas Δx dan tinggi f(a + iΔx). Menggunakan metode ini dengan i = 0, 1, ..., n - 1 dan menambahkan area yang dihasilkan akan memberi

Jumlah Riemann kiri akan terlalu besar jika f menurun secara monoton pada interval yang ditentukan dan terlalu kecil jika f meningkat secara monoton.

Jumlah Riemann kanan sunting

Jumlah Riemann kanan x3 pada interval [0,2] menggunakan 4 subdivisi

Pada metode Riemann kanan, f dihampiri menggunakan nilai pada titik ujung kanan dari beberapa persegi panjang yang memiliki alas Δx dan tinggi f(a + iΔx). Menggunakan metode ini dengan i = 1, ..., n kemudian menjumlahkan semua luas persegi panjang akan menghasilkan

Besar jumlah Riemann akan terlalu terlalu kecil jika f menurun secara monoton dan terlalu besar jika f meningkat secara monoton. Galat dari metode ini adalah

dengan adalah nilai maksimum dari nilai absolut pada interval yang ditentukan.

Aturan Riemann tengah sunting

Jumlah Riemann tengah x3 pada interval [0,2] menggunakan 4 subdivisi

Hampiran f pada titik tengah interval memberikan f(a + Δx/2) untuk interval pertama, f(a + 3Δx/2) untuk interval berikutnya, dan seterusnya hingga f(b - Δx/2). Menjumlahkan semua persegi panjang memberi

Galat dari metode ini adalah

dengan adalah nilai maksimum dari nilai mutlak pada interval.

Aturan trapesium sunting

Jumlah Riemann trapesium pada interval [0,2] menggunakan 4 subdivisi

Pada metode ini, nilai-nilai fungsi f pada suatu interval dihampiri dengan nilai rata-rata dari titik akhir kiri dan kanan. Penghitungan menggunakan rumus luas trapesium

dengan sisi paralel b1, b2 dan tinggi h menghasilkan

Galat dari rumus ini adalah

dengan adalah nilai maksimum dari nilai absolut .

Hampiran yang diperoleh menggunakan aturan trapesium untuk suatu fungsi sama dengan rata-rata jumlah Riemann kiri dan kanan dari fungsi tersebut.

Hubungan dengan integrasi sunting

Pada jumlah Riemann satu dimensi dengan domain , ukuran partisi yang semakin kecil hingga mendekati nol akan menyebabkan jumlah Riemann mendekati (konvergen) sebuah nilai tertentu. Nilai limit yang didasarkan pada kondisi ini dapat didefinisikan sebagai integral Riemann dari sebuah fungsi pada domain tertentu,

Pada domain berhingga, ukuran elemen partisi yang menyusut ke nol berarti jumlah elemen partisi mencapai tak hingga. Pada partisi dengan jumlah berhingga, jumlah Riemann akan selalu menjadi hampiran terhadap nilai limit. Hampiran ini akan menjadi lebih akurat apabila partisi semakin kecil dan banyak. Animasi berikut mampu menggambarkan bagaimana partisi yang semakin banyak dapat semakin baik menghampiri luas suatu daerah di bawah kurva

Contoh sunting

Ambil contoh persoalan di atas. Luas daerah di bawah kurva y = x2 antara 0 dan 2 dapat dihitung menggunakan metode Riemann (dalam contoh ini akan digunakan metode Riemann kanan).

Pertama-tama, interval [0, 2] dibagi menjadi n subinterval yang masing-masing memiliki lebar . Lebar subinterval tersebut merupakan lebar dari persegi panjang Riemann (selanjutnya disebut "kepingan"). Karena contoh ini menggunakan Riemann kanan, maka urutan koordinat x untuk kepingan-kepingan tersebut adalah . Oleh karena itu, ketinggian kepingan secara berturut-turut adalah . Pada kasus ini, dan .

Luas masing-masing kepingan adalah . Oleh karena, jumlah Riemann kanan ke-n adalah:

Apabila digunakan limit n → ∞, maka dapat ditemukan nilai hampiran yang mendekati nilai luas daerah di bawah kurva yang sebenarnya:

Hasil yang diperoleh menggunakan metode ini sama dengan hasil yang diperoleh menggunakan metode integral tentu:

Dimensi yang lebih tinggi sunting

Gagasan dasar di balik metode penjumlahan Riemann adalah "memecah-mecah" domain menjadi beberapa bagian, menghitung "ukuran" dari setiap bagian, kemudian menjumlahkan semua ukuran yang didapat. Melalui gagasan ini, metode jumlah Riemann dapat digeneralisasi untuk menghitung fungsi dengan domain lebih dari satu dimensi. Meskipun demikian, detail teknis tentang bagaimana domain dapat dipartisi menjadi jauh lebih rumit daripada kasus satu dimensi dan melibatkan aspek bentuk geometris domain.

Dua dimensi sunting

Pada kasus dua dimensi, domain dapat dibagi menjadi beberapa bagian (). Setiap bagian kemudian dapat diartikan sebagai memiliki "luas" yang disebut . Jumlah Riemann-nya adalah

dengan .

Tiga dimensi sunting

Pada kasus tiga dimensi, domain dengan dan adalah "volume" bagian yang diindeks . Jumlah Riemann tiga dimensi kemudian dapat dinotasikan sebagai

dengan .

Dimensi yang lebih tinggi sunting

Jumlah Riemann pada dimensi yang lebih tinggi mengikuti metode serupa pada satu, dua, hingga tiga dimensi. Untuk dimensi n, jumlah Riemann dapat ditulis sebagai

dengan , yaitu sebuah titik di bagian n-dimensi dengan volume n-dimensi .

Lihat pula sunting

  • Antiderivatif
  • Integral Lebesgue
  • Integral Riemann, limit jumlah Riemann saat partisi yang digunakan berjumlah tak hingga
  • Aturan Simpson, metode numerik yang lebih akurat daripada jumlah Riemann dasar atau bahkan aturan Trapesium
  • Aturan trapesium, metode numerik berdasarkan rata-rata penjumlahan Riemann kiri dan kanan

Referensi sunting

  1. "Riemann Sums and the Definite Integral". Math24 (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-05. 
  2. "Riemann Sums | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-05. 
  3. "Calculating the area under a curve using Riemann sums". mathinsight.org. Diakses tanggal 17 Agustus 2020. 
  4. Hughes-Hallett, Deborah; McCullum, William G.; et al. (2005). Calculus (edisi ke-4th). Wiley. hlm. 252. 
  5. Varberg, Dale. (2008). Calculus. [Place of publication not identified]: Addison-Wesley. ISBN 0-321-59682-X. OCLC 946451545. 
  6. ^ Hughes-Hallett, Deborah; McCullum, William G.; et al. (2005). Calculus (edisi ke-4th). Wiley. hlm. 340. So far, we have three ways of estimating an integral using a Riemann sum: 1. The left rule uses the left endpoint of each subinterval. 2. The right rule uses the right endpoint of each subinterval. 3. The midpoint rule uses the midpoint of each subinterval. 
  7. ^ Ostebee, Arnold; Zorn, Paul (2002). Calculus from Graphical, Numerical, and Symbolic Points of View (edisi ke-Second). hlm. M-33. Left-rule, right-rule, and midpoint-rule approximating sums all fit this definition. 
  8. ^ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2012). Calculus I with Precalculus. Cengage Learning. hlm. 421. 
  9. ^ "Riemann Sums (MATH1011 version)" (PDF). 2017. Diakses tanggal 5 Agustus 2020. 
  10. "Understanding the trapezoidal rule (article)". Khan Academy (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-16. 
  11. "Definite integral as the limit of a Riemann sum (article)". Khan Academy (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-16. 
  12. Swokowski, Earl W. (1979). Calculus with Analytic Geometry (edisi ke-Second). Boston, MA: Prindle, Weber & Schmidt. hlm. 821–822. ISBN 0-87150-268-2. 
  13. Ostebee, Arnold; Zorn, Paul (2002). Calculus from Graphical, Numerical, and Symbolic Points of View (edisi ke-Second). hlm. M-34. We chop the plane region R into m smaller regions R1, R2, R3, ..., Rm, perhaps of different sizes and shapes. The 'size' of a subregion Ri is now taken to be its area, denoted by ΔAi. 
  14. Swokowski, Earl W. (1979). Calculus with Analytic Geometry (edisi ke-Second). Boston, MA: Prindle, Weber & Schmidt. hlm. 857–858. ISBN 0-87150-268-2. 

Pranala luar sunting

wikipedia, wiki, buku, buku, perpustakaan, artikel, baca, unduh, gratis, unduh gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, gambar, musik, lagu, film, buku, permainan, permainan.
Tanggal penerbitan:
Dalam matematika jumlah Riemann adalah salah satu jenis aproksimasi hampiran integral menggunakan metode penjumlahan terbatas Nama metode ini berasal dari seorang ahli matematika Jerman di abad ke 19 bernama Bernhard Riemann 1 Salah satu aplikasi jumlah Riemann yang sangat umum digunakan adalah penghampiran luas daerah suatu fungsi atau garis pada grafik panjang kurva dan perkiraan lainnya Empat metode penjumlahan Riemann untuk memperkirakan luas daerah di bawah kurva Metode kanan dan kiri memperkirakan luas masing masing menggunakan titik akhir kanan dan kiri subinterval Metode maksimum dan minimum memperkirakan luas masing masing menggunakan nilai titik akhir terbesar dan terkecil subinterval Nilai nilai penjumlahan konvergen ketika subinterval membagi dua dari kiri atas ke kanan bawah Jumlah Riemann dihitung dengan mempartisi membagi daerah yang ingin dihitung menjadi beberapa keping dengan bentuk tertentu persegi panjang trapesium parabola atau kubik Luas dari semua kepingan tersebut kemudian dihitung dan dijumlahkan 2 Metode ini dapat digunakan untuk menentukan aproksimasi numerik integral tentu bahkan ketika teorema dasar kalkulus membuatnya tidak mudah untuk menemukan solusi bentuk tertutup Karena kepingan kepingan kecil tersebut tidak selalu tepat menutupi semua daerah yang diukur luas daerah yang dihitung menggunakan jumlah Riemann akan berbeda dari luas sebenarnya Kesalahan ini dapat diminimalisasi dengan membagi wilayah menjadi kepingan yang lebih kecil dalam jumlah yang lebih banyak Saat kepingan semakin kecil luas yang didapat melalui hampiran ini akan semakin mendekati integral Riemann 3 Daftar isi 1 Definisi 2 Beberapa jenis jumlah Riemann 3 Metode 3 1 Jumlah Riemann kiri 9 3 2 Jumlah Riemann kanan 9 3 3 Aturan Riemann tengah 9 3 4 Aturan trapesium 10 4 Hubungan dengan integrasi 5 Contoh 6 Dimensi yang lebih tinggi 6 1 Dua dimensi 6 2 Tiga dimensi 6 3 Dimensi yang lebih tinggi 7 Lihat pula 8 Referensi 9 Pranala luarDefinisi suntingApabila diberikan f a b R displaystyle f a b rightarrow mathbb R nbsp sebagai fungsi yang didefinisikan pada interval tertutup a b displaystyle a b nbsp bilangan real R displaystyle mathbb R nbsp P x 0 x 1 x 1 x 2 x n 1 x n displaystyle P left x 0 x 1 x 1 x 2 dots x n 1 x n right nbsp sebagai partisi dari interval I dan a x 0 lt x 1 lt x 2 lt lt x n b displaystyle a x 0 lt x 1 lt x 2 lt cdots lt x n b nbsp maka jumlah Riemann S displaystyle S nbsp dari f pada interval I dengan partisi P didefinisikan sebagai S i 1 n f x i D x i displaystyle S sum i 1 n f x i Delta x i nbsp dengan D x i x i x i 1 displaystyle Delta x i x i x i 1 nbsp dan x i x i 1 x i displaystyle x i in x i 1 x i nbsp 4 Berapapun nilai titik wakil x i displaystyle x i nbsp tidak begitu penting karena lebar dari D x i displaystyle Delta x i nbsp mendekati nol Dengan kata lain anda dapat memilih titik wakil x i displaystyle x i nbsp berapapun selama nilai yang anda pilih masih berada pada interval x i 1 x i displaystyle x i 1 x i nbsp atau x i 1 x i x i displaystyle x i 1 leq x i leq x i nbsp Jumlah Riemann fungsi f yang didefinisikan pada interval I dan partisi tetap P bernilai sama dan tidak bergantung pada berapa nilai x i displaystyle x i nbsp yang dipilih 5 Beberapa jenis jumlah Riemann suntingTerdapat beberapa jenis jumlah Riemann tergantung pada bagaimana cara memilih titik wakil x i displaystyle x i nbsp Jika x i x i 1 displaystyle x i x i 1 nbsp untuk semua i maka S disebut aturan kiri 6 7 atau jumlah Riemann kiri Jika x i x i displaystyle x i x i nbsp untuk semua i maka S disebut aturan kanan 6 7 atau jumlah Riemann kanan Jika x i x i x i 1 2 displaystyle x i x i x i 1 2 nbsp untuk semua i maka S disebut aturan titik tengah 6 7 atau jumlah Riemann tengah Jika f x i sup f x i 1 x i displaystyle f x i sup f x i 1 x i nbsp supremum f pada interval x i 1 x i displaystyle x i 1 x i nbsp maka S didefinisikan sebagai jumlah Riemann atas atau jumlah Darboux atas Jika f x i inf f x i 1 x i displaystyle f x i inf f x i 1 x i nbsp infimum f pada interval x i 1 x i displaystyle x i 1 x i nbsp maka S didefinisikan sebagai jumlah Riemann bawah atau jumlah Darboux bawah Semua metode ini merupakan cara cara paling sederhana untuk menentukan integrasi numerik Sebuah fungsi dapat dihitung menggunakan integral Riemann apabila besar jumlah Riemann semakin mendekati suatu nilai tertentu seiring dengan semakin banyaknya partisi Metode suntingMetode metode penjumlahan Riemann biasanya paling baik dihampiri dengan partisi berukuran sama Oleh karena itu interval a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp dibagi menjadi n displaystyle n nbsp subinterval masing masing panjangnya 8 D x b a n displaystyle Delta x frac b a n nbsp Titik titik di partisi akan menjadi a a D x a 2 D x a n 2 D x a n 1 D x b displaystyle a a Delta x a 2 Delta x ldots a n 2 Delta x a n 1 Delta x b nbsp Jumlah Riemann kiri 9 sunting nbsp Jumlah Riemann kiri x3 pada interval 0 2 menggunakan 4 subdivisiUntuk jumlah Riemann kiri aproksimasi fungsi dihitung menggunakan nilai pada titik ujung kiri dari beberapa persegi panjang dengan alas Dx dan tinggi f a iDx Menggunakan metode ini dengan i 0 1 n 1 dan menambahkan area yang dihasilkan akan memberi A k i r i D x f a f a D x f b D x displaystyle A mathrm kiri Delta x left f a f a Delta x cdots f b Delta x right nbsp Jumlah Riemann kiri akan terlalu besar jika f menurun secara monoton pada interval yang ditentukan dan terlalu kecil jika f meningkat secara monoton Jumlah Riemann kanan 9 sunting nbsp Jumlah Riemann kanan x3 pada interval 0 2 menggunakan 4 subdivisiPada metode Riemann kanan f dihampiri menggunakan nilai pada titik ujung kanan dari beberapa persegi panjang yang memiliki alas Dx dan tinggi f a iDx Menggunakan metode ini dengan i 1 n kemudian menjumlahkan semua luas persegi panjang akan menghasilkan A k a n a n D x f a D x f a 2 D x f b displaystyle A mathrm kanan Delta x left f a Delta x f a 2 Delta x cdots f b right nbsp Besar jumlah Riemann akan terlalu terlalu kecil jika f menurun secara monoton dan terlalu besar jika f meningkat secara monoton Galat dari metode ini adalah a b f x d x A k a n a n M 1 b a 2 2 n displaystyle left vert int a b f x dx A mathrm kanan right vert leq frac M 1 b a 2 2n nbsp dengan M 1 displaystyle M 1 nbsp adalah nilai maksimum dari nilai absolut f x displaystyle f prime x nbsp pada interval yang ditentukan Aturan Riemann tengah 9 sunting nbsp Jumlah Riemann tengah x3 pada interval 0 2 menggunakan 4 subdivisiHampiran f pada titik tengah interval memberikan f a Dx 2 untuk interval pertama f a 3Dx 2 untuk interval berikutnya dan seterusnya hingga f b Dx 2 Menjumlahkan semua persegi panjang memberi A t e n g a h D x f a D x 2 f a 3 D x 2 f b D x 2 displaystyle A mathrm tengah Delta x left f a tfrac Delta x 2 f a tfrac 3 Delta x 2 cdots f b tfrac Delta x 2 right nbsp Galat dari metode ini adalah a b f x d x A t e n g a h M 2 b a 3 24 n 2 displaystyle left vert int a b f x dx A mathrm tengah right vert leq frac M 2 b a 3 24n 2 nbsp dengan M 2 displaystyle M 2 nbsp adalah nilai maksimum dari nilai mutlak f x displaystyle f prime prime x nbsp pada interval Aturan trapesium 10 sunting nbsp Jumlah Riemann trapesium pada interval 0 2 menggunakan 4 subdivisiPada metode ini nilai nilai fungsi f pada suatu interval dihampiri dengan nilai rata rata dari titik akhir kiri dan kanan Penghitungan menggunakan rumus luas trapesium A 1 2 h b 1 b 2 displaystyle A tfrac 1 2 h b 1 b 2 nbsp dengan sisi paralel b1 b2 dan tinggi h menghasilkan A t r a p 1 2 D x f a 2 f a D x 2 f a 2 D x f b displaystyle A mathrm trap tfrac 1 2 Delta x left f a 2f a Delta x 2f a 2 Delta x cdots f b right nbsp Galat dari rumus ini adalah a b f x d x A t r a p M 2 b a 3 12 n 2 displaystyle left vert int a b f x dx A mathrm trap right vert leq frac M 2 b a 3 12n 2 nbsp dengan M 2 displaystyle M 2 nbsp adalah nilai maksimum dari nilai absolut f x displaystyle f prime prime x nbsp Hampiran yang diperoleh menggunakan aturan trapesium untuk suatu fungsi sama dengan rata rata jumlah Riemann kiri dan kanan dari fungsi tersebut Hubungan dengan integrasi suntingPada jumlah Riemann satu dimensi dengan domain a b displaystyle a b nbsp ukuran partisi yang semakin kecil hingga mendekati nol akan menyebabkan jumlah Riemann mendekati konvergen sebuah nilai tertentu Nilai limit yang didasarkan pada kondisi ini dapat didefinisikan sebagai integral Riemann dari sebuah fungsi pada domain tertentu 11 a b f x d x lim D x 0 i 1 n f x i D x i displaystyle int a b f x dx lim Delta x rightarrow 0 sum i 1 n f x i Delta x i nbsp Pada domain berhingga ukuran elemen partisi yang menyusut ke nol berarti jumlah elemen partisi mencapai tak hingga Pada partisi dengan jumlah berhingga jumlah Riemann akan selalu menjadi hampiran terhadap nilai limit Hampiran ini akan menjadi lebih akurat apabila partisi semakin kecil dan banyak Animasi berikut mampu menggambarkan bagaimana partisi yang semakin banyak dapat semakin baik menghampiri luas suatu daerah di bawah kurva nbsp Riemann kiri nbsp Riemann kanan nbsp Riemann tengahContoh sunting nbsp Visualisasi daerah di bawah kurva y x2 pada interval 0 hingga 2 Menggunakan antiturunan luas daerah ini ditemukan tepat sebesar 8 3 nbsp Menghampiri daerah di bawah y x 2 displaystyle y x 2 nbsp dari 0 hingga 2 menggunakan Riemann kanan nbsp Jumlah Riemann di bawah kurva y x2 dari 0 hingga 2 Ketika jumlah persegi panjang semakin banyak luas area yang diperoleh semakin mendekati angka 8 3 Ambil contoh persoalan di atas Luas daerah di bawah kurva y x2 antara 0 dan 2 dapat dihitung menggunakan metode Riemann dalam contoh ini akan digunakan metode Riemann kanan Pertama tama interval 0 2 dibagi menjadi n subinterval yang masing masing memiliki lebar 2 n displaystyle tfrac 2 n nbsp Lebar subinterval tersebut merupakan lebar dari persegi panjang Riemann selanjutnya disebut kepingan Karena contoh ini menggunakan Riemann kanan maka urutan koordinat x untuk kepingan kepingan tersebut adalah x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 ldots x n nbsp Oleh karena itu ketinggian kepingan secara berturut turut adalah x 1 2 x 2 2 x n 2 displaystyle x 1 2 x 2 2 ldots x n 2 nbsp Pada kasus ini x i 2 i n displaystyle x i tfrac 2i n nbsp dan x n 2 displaystyle x n 2 nbsp Luas masing masing kepingan adalah 2 n x i 2 displaystyle tfrac 2 n times x i 2 nbsp Oleh karena jumlah Riemann kanan ke n adalah S 2 n 2 n 2 2 n 2 i n 2 2 n 2 n n 2 8 n 3 1 i 2 n 2 8 n 3 n n 1 2 n 1 6 8 n 3 2 n 3 3 n 2 n 6 8 3 4 n 4 3 n 2 displaystyle begin aligned S amp frac 2 n times left frac 2 n right 2 cdots frac 2 n times left frac 2i n right 2 cdots frac 2 n times left frac 2n n right 2 amp frac 8 n 3 left 1 cdots i 2 cdots n 2 right amp frac 8 n 3 left frac n n 1 2n 1 6 right amp frac 8 n 3 left frac 2n 3 3n 2 n 6 right amp frac 8 3 frac 4 n frac 4 3n 2 end aligned nbsp Apabila digunakan limit n maka dapat ditemukan nilai hampiran yang mendekati nilai luas daerah di bawah kurva yang sebenarnya lim n S lim n 8 3 4 n 4 3 n 2 8 3 displaystyle lim n to infty S lim n to infty left frac 8 3 frac 4 n frac 4 3n 2 right frac 8 3 nbsp Hasil yang diperoleh menggunakan metode ini sama dengan hasil yang diperoleh menggunakan metode integral tentu 0 2 x 2 d x 8 3 displaystyle int 0 2 x 2 dx frac 8 3 nbsp Dimensi yang lebih tinggi suntingGagasan dasar di balik metode penjumlahan Riemann adalah memecah mecah domain menjadi beberapa bagian menghitung ukuran dari setiap bagian kemudian menjumlahkan semua ukuran yang didapat Melalui gagasan ini metode jumlah Riemann dapat digeneralisasi untuk menghitung fungsi dengan domain lebih dari satu dimensi Meskipun demikian detail teknis tentang bagaimana domain dapat dipartisi menjadi jauh lebih rumit daripada kasus satu dimensi dan melibatkan aspek bentuk geometris domain 12 Dua dimensi sunting Pada kasus dua dimensi domain A displaystyle A nbsp dapat dibagi menjadi beberapa bagian A i displaystyle A i nbsp A i A i displaystyle A cup i A i nbsp Setiap bagian kemudian dapat diartikan sebagai memiliki luas yang disebut D A i displaystyle Delta A i nbsp 13 Jumlah Riemann nya adalah S i 1 n f x i y i D A i displaystyle S sum i 1 n f x i y i Delta A i nbsp dengan x i y i A i displaystyle x i y i in A i nbsp Tiga dimensi sunting Pada kasus tiga dimensi domain V displaystyle V nbsp dengan V i V i displaystyle V cup i V i nbsp dan D V i displaystyle Delta V i nbsp adalah volume bagian yang diindeks i displaystyle i nbsp Jumlah Riemann tiga dimensi kemudian dapat dinotasikan sebagai 14 S i 1 n f x i y i z i D V i displaystyle S sum i 1 n f x i y i z i Delta V i nbsp dengan x i y i z i V i displaystyle x i y i z i in V i nbsp Dimensi yang lebih tinggi sunting Jumlah Riemann pada dimensi yang lebih tinggi mengikuti metode serupa pada satu dua hingga tiga dimensi Untuk dimensi n jumlah Riemann dapat ditulis sebagai 8 S i f P i D V i displaystyle S sum i f P i Delta V i nbsp dengan P i V i displaystyle P i in V i nbsp yaitu sebuah titik di bagian n dimensi V i displaystyle V i nbsp dengan volume n dimensi D V i displaystyle Delta V i nbsp Lihat pula sunting nbsp Portal Matematika Antiderivatif Integral Lebesgue Integral Riemann limit jumlah Riemann saat partisi yang digunakan berjumlah tak hingga Aturan Simpson metode numerik yang lebih akurat daripada jumlah Riemann dasar atau bahkan aturan Trapesium Aturan trapesium metode numerik berdasarkan rata rata penjumlahan Riemann kiri dan kananReferensi sunting Riemann Sums and the Definite Integral Math24 dalam bahasa Inggris Diakses tanggal 2020 08 05 Riemann Sums Brilliant Math amp Science Wiki brilliant org dalam bahasa Inggris Diakses tanggal 2020 08 05 Calculating the area under a curve using Riemann sums mathinsight org Diakses tanggal 17 Agustus 2020 Hughes Hallett Deborah McCullum William G et al 2005 Calculus edisi ke 4th Wiley hlm 252 Varberg Dale 2008 Calculus Place of publication not identified Addison Wesley ISBN 0 321 59682 X OCLC 946451545 a b c Hughes Hallett Deborah McCullum William G et al 2005 Calculus edisi ke 4th Wiley hlm 340 So far we have three ways of estimating an integral using a Riemann sum 1 The left rule uses the left endpoint of each subinterval 2 The right rule uses the right endpoint of each subinterval 3 The midpoint rule uses the midpoint of each subinterval a b c Ostebee Arnold Zorn Paul 2002 Calculus from Graphical Numerical and Symbolic Points of View edisi ke Second hlm M 33 Left rule right rule and midpoint rule approximating sums all fit this definition a b Larson Ron Edwards Bruce H 2012 Calculus I with Precalculus Cengage Learning hlm 421 Parameter url status yang tidak diketahui akan diabaikan bantuan a b c Riemann Sums MATH1011 version PDF 2017 Diakses tanggal 5 Agustus 2020 Understanding the trapezoidal rule article Khan Academy dalam bahasa Inggris Diakses tanggal 2020 08 16 Definite integral as the limit of a Riemann sum article Khan Academy dalam bahasa Inggris Diakses tanggal 2020 08 16 Swokowski Earl W 1979 Calculus with Analytic Geometry nbsp edisi ke Second Boston MA Prindle Weber amp Schmidt hlm 821 822 ISBN 0 87150 268 2 Ostebee Arnold Zorn Paul 2002 Calculus from Graphical Numerical and Symbolic Points of View edisi ke Second hlm M 34 We chop the plane region R into m smaller regions R1 R2 R3 Rm perhaps of different sizes and shapes The size of a subregion Ri is now taken to be its area denoted by DAi Swokowski Earl W 1979 Calculus with Analytic Geometry nbsp edisi ke Second Boston MA Prindle Weber amp Schmidt hlm 857 858 ISBN 0 87150 268 2 Pranala luar sunting Inggris Weisstein Eric W Riemann Sum MathWorld Sebuah simulasi yang menampilkan kekonvergenan jumlah Riemann Diperoleh dari https id wikipedia org w index php title Jumlah Riemann amp oldid 19097479